11 Modos de Convergência

Author

Alexandre Nicolella

Published

March 31, 2026

11.1 Modos de Convergência

Gostariamos de saber se uma sequência de variáveis aleatórias $X_1,X_2,...,X_n$ caminha ou converge na direção de $X$. Assim, suponha que queiramos saber o valor de $X$, fazemos uma medida via $X_1$, podemos aumentar o número de medidas para $X_2$ e observamos se chega mais próximo de $X$, e constinuamos até $X_n$ e vemos se essa sequencia de medidas vai convergindo para $X$.Veremos aqui 3 tipos de convergência.

Convergência em probabilidade
Convergência em Média Quadratica
Convergência em Distribuição

11.1.1 Convergência de uma sequência numérica

DEFINIÇÃO

Convergência:

Uma sequência de números reais $\{\alpha_i\}$ $i=1,2,..,n$ converge para um número real $\alpha$ se para qualquer $\varepsilon>0$ existe um inteiro N onde para todo $n>N$ tem-se:

\[|\alpha_n - \alpha |<\varepsilon\]

Assim:

$\alpha_n \rightarrow \alpha$ quando $n \rightarrow \infty$ ou

$lim_{n \rightarrow \infty} \alpha_n = \alpha$

No caso de variáveis aleatórias, como só podemos falar de probabilidade, a definição anterior de convergência não é válida.

11.1.2 Convergência em Distribuição e o Teorema do Limite Central.

É forma mais fraca de convergência, dizemos que a fda de $X_n$ converge para a fda de $X$. Formalmente:

DEFINIÇÃO

Convergência em Distribuição

Uma sequência de v.a. $\{X_i\}$ $i=1,2,..,n$ converge para $X$ em distribuição se a função de distribuição acumulada $F_{X_n}$ de $X_i$ converge para a f.d.a. $F_X$ de $X$ em cada ponto da F. Em outras palavras:

$X_n \overset{d}{\rightarrow} X$ ou

$\lim_{n \rightarrow\infty}F_{X_n}(x)=F_{X}(x)$ é a distribuição limite de $X_n$.

11.1.3 Teorema do Limite Central (TLC): Aplicação da Convergência em Distribuição.

Um dos resultados mais importantes em estatística e que afirma que a soma de um grande número de variáveis aleatórias possui distribuição normal. Suponha uma sequência $X_1, X_2, ...., X_n$ a qual possui a mesma distribuição de $X$. A média $\overline{X}$, que é uma soma de variáveis aleatórias, possui $E(\overline{X})=\mu$ e a variância $Var(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}$. Podemos normalizar a variável aleatória $\overline{X}$, ou seja $Z_n$:

\[Z_n=\frac{\overline{X}_n- E(\overline{X}_n)}{\sqrt{Var(\overline{X}_n)}}\]

Dessa forma podemos fazer a seguinte definição:

DEFINIÇÃO

Teorema do Limite Central

Seja $X_1, X_2,...,X_n$ uma sequência de variáveis aleatórias com $E(X_i)=\mu$ e $Var(X_i)=\sigma^2$. A variável $\overline{X}$ normalizada:

\[Z_n=\frac{\overline{X}_n- E(\overline{X}_n)}{\sqrt{Var(\overline{X}_n)}} =\frac{X_1+X_2+,...+X_n-n\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\]

converge em distribuição para uma normal padrão quando $n$ vai para o infinito, assim:

$\lim_{n \rightarrow\infty}P(Z_n \leq x)=\Phi(x)$ para to $x \in \mathbb{R}$

Portanto,

\[Z_n \overset{d}{\rightarrow} N(0,1)\]

Assim, temos a distribuição assintótica de $Z_n$ (a qual se aproxima quando n é grande), será:

\[Z_n \overset{a}{\sim } N(0,1)\]

Isso implica que a distribuição assintótica da sequência $\overline{X}_n$ é:

\[\overline{X}_n\overset{a}{\sim }N(E(\overline{X_n}),Var(\overline{X_n}))\]

11.1.4 Aproximação Normal da Binomial

Recordando, uma variável com distribuição Binomial $X$ é a soma de v.a. Bernoulli iid $\{Y_i\}$ tal que $X= \sum Y_i$. Sendo que $Y_i=1$ com probabilidade $p$ e $Y_i=0$ com probabilidade $(1-p)$.

$\hat{p}=\frac{X}{n}$

Assim, se as condições do TLC são satisfeitas, com $E(Y_i)=p$, $Var(Y_i)=(1-p)p$ e $\hat{p}=\frac{X}{n}$ então:

\[\frac{\frac{X}{n}-p} {\sqrt{(1-p)p/n}}\overset{d}{\rightarrow} N(0,1)\]

Assim:

\[\frac{X}{n} \overset{a}{\sim } N(p, pq/n)\]

Ou:

\[X \overset{a}{\sim } N(np, npq)\]

11.1.5 Convergência em Probabilidade e a Lei dos Grandes Números

É um modo de convergência mais forte do que a convergência em distribuição, muitas vezes chamada de convergência estocástica. Vejamos a definição:

DEFINIÇÃO

Convergência em Probabilidade:

Uma sequência de v.a. $X_1,X_2,,...,X_n$ converge em probabilidade para uma v.a. $X$, ou seja,

$X_n \overset{p}{\rightarrow} X$ quando $n \rightarrow \infty$, se:

$lim_{n \rightarrow \infty} P(|X_n - X |\geq \varepsilon) = 0$ ou

$plim_{n \rightarrow \infty} X_n = X$

11.1.6 A Lei dos Grandes Números (LGN): Aplicação da Convergência em Probabilidade

11.1.6.1 Lei Fraca dos Grandes Números

A Lei dos Grandes Números é o Teorema que descreve o resultado de um experimento realizado um grande número de vezes. A Lei Fraca será nosso foco, pois é bem menos restritiva em termos de convergência, ou seja, exige uma convergência mais fraca e é suficiente para os problemas econométricos que veremos a frente.

DEFINIÇÃO

Lei Fraca dos Grandes Números

Dada uma sequência da v.a. $X_i$ e $\overline{X}_n=\frac{1}{n} \sum X_i$, a Lei Fraca Dos Grandes Números coloca que $\overline{X}_n - E(\overline{X}_n)$ converge para 0 em probabilidade. Portanto:

$\overline{X}_n - E(\overline{X}_n) \overset{p}{\rightarrow} 0$

$\overline{X}_n \overset{p}{\rightarrow} E(\overline{X}_n)=\mu$

Assim temos o seguinte teorema

TEOREMA

Seja uma sequência $X_1,X_2,...,X_n$ iid com $E(X_i)=\mu$ e $Var(X_i)=\sigma^2$. Então:

$\overline{X_n} \overset{p}{\rightarrow} \mu$ quando $n $.

Prova:

Utilizando a desigualdade de Tchebycheff:

\[P(|\overline{X} - \mu|< \varepsilon ) \geq 1-\frac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2} n}\]

\[lim_{n \rightarrow \infty} P(|\overline{X} - \mu|< \varepsilon ) = 1\]

\[lim_{n \rightarrow \infty} P(|\overline{X} - \mu| \geq \varepsilon ) = 0\]

Portanto:

\[\overline{X} \overset{P}{\rightarrow} \mu\]

\[plim \overline{X} = \mu\]

Em palavras:

O significado de $X_n$ convirgir para $\mu$, é que com uma amostra cada vez maior existe uma probabilidade muito alta de que a média ds observações esteja próxima do verdadeiro par6ametro populacional, ou seja, a esperança.

11.1.6.2 Lei Forte dos Grandes Números

Uma maneira mais forte de convergência é dada pela convergência “quase certa”. Não veremos ela aqui e daremos uma ideia apenas da existência da Lei Forte dos Grande Números. Podemos representar essa convergência por:

$\overline{X_n}\overset{a.s.}{\rightarrow}\mu$ quando $n \rightarrow \infty$

Podemos definir a convergência quase certa da seguinte maneira:

DEFINIÇÃO

Lei Forte dos Grandes Números

\[P(lim_{n \rightarrow \infty} \overline{X_n}=\mu ) = 1\]

Ou seja, a Lei forte coloca que $X_n$ converge para $\mu$ com probabilidade igual a 1. Aqui é a probabilidade do limite e antes o limite da probabilidade! Assim, a média da amostra converge quase certamente para o valor esperado.

É um tipo de convergência pouco utilizado na Econometria. Vejamos em palavras a diferença entre as duas para um $n$ grande

Lei Fraca: $\overline{X}_n$ está próximo de $\mu$ e portanto $|\overline{X}_n-\mu|>\varepsilon$ pode existir mas não é frequente
Lei Forte: $|\overline{X}_n-\mu|<\varepsilon$ para todo $n$

11.1.7 Convergência em Média Quadrática

É um tipo de convergência mais forte que a de probabilidade e de distribuição.

DEFINIÇÃO

Convergência em Média Quadrática

Uma sequência de v.a. $X_1,X2,...,X_n$ converge para $X$ em média quadrática se:

\[lim_{n \rightarrow \infty} E(X_n - X)^{2} = 0\]

Tal que:

$X_n \overset{M}{\rightarrow} X$

11.1.8 Relação entre as convergências

Existe uma relação de implicação ou relacionamento entre os diversos tipos de convergência. Esse relacionamento é apresentado no teorema abaixo.

TEOREMA

$X_n \overset{M}{\rightarrow} X \Rightarrow X_n \overset{P}{\rightarrow} X$

$X_n \overset{p}{\rightarrow} X \Rightarrow X_n \overset{d}{\rightarrow} X$

O que implica:

$X_n \overset{M}{\rightarrow} X \Rightarrow X_n \overset{p}{\rightarrow} X \Rightarrow X_n \overset{d}{\rightarrow} X$

TEOREMA

Seja $X_n$ um vetor de v.a. com númerp finito de elementos. Seja $g$ uma função contínua e $\alpha$ um vetor constante. Então:

$X_n \overset{P}{\rightarrow} \alpha \Rightarrow g(X_n) \overset{P}{\rightarrow} g(\alpha)$