12  Amostragem

12.1 Determinação do tamanho da amostra

Iremos considerar aqui apenas a técnica de amostrage alatatória simples. Nosso objetivo é dar a intuição do processo de amostragem e não ensinar a fazer design de pesquisa de campo. Existem disciplinas específicas para isso.

Duas medidas importantes a serem consideradas.

1. Distância Máxima tolerável entre a estimativa e o parâmetro real: \(d\)

2. A probabilidade de que \(d\) seja maior que o tolerável: \(\alpha\)

12.1.1 Tamanho da amostra com \(\sigma\) conhecido

Considere a desigualdade de Tchebycheff:

\[P(|\overline{X} - \mu| \leq \varepsilon ) \geq 1-\frac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2} n}\]

Considerando \(\varepsilon=d\), \(\frac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2} n}=\alpha\) e trabalhando no limite inferior tolerável (na igualdade):

\[P(|\overline{X} - \mu|\leq d) = 1 - \alpha\]

\[P(-d \leq \overline{X} - \mu\leq d) = 1 - \alpha\]

\[P(-\frac{d}{\sigma/\sqrt{n} } \leq Z \leq \frac{d}{\sigma/\sqrt{n}}) = 1 - \alpha\]

\[P(-\frac{d\sqrt{n}}{\sigma } \leq Z \leq \frac{d\sqrt{n}}{\sigma}) = 1 - \alpha\]

\[P(-Z_c \leq Z \leq Z_c) = 1 - \alpha\]

\[Z_c=\frac{\sqrt{n}d}{\sigma} \rightarrow n=\frac{\sigma^{2}Z_c^{2}}{d^{2}}\]

onde n é o tamanho da amostra. Logo observa-se que o tamanho da amostra não tem relação com o tamanho da população. Se a população for altamente homogênea, a variância será pequena e o tamanho da amostra pequeno. Também depende do erro e da probabilidade de ficar acima do tolerável.

TipEXEMPLO

Uma pesquisa de satisfação foi feita com os funcionários de uma empresa. O índice vai de 0 a 100 e sabe-se que o desvio padrão é 30.

Qual o tamanho da amostra de entrevistados, considerando um nível de tolerância \(d=1,5\) unidades, com probabilidade \(1-\alpha=92,81\%\)?

CautionRESPOSTA

Na tabela da distribuição normal padrão:

\[1 -\alpha = 0,9281 \rightarrow Z_c=1,8\]

Como d=1,5 então:

\[n= \bigg(\frac{1,8 . 30}{1,5} \bigg)^{2}\cong 1.296\]

12.1.2 Tamanho da amostra com população finita

Se a população for finita a independência entre os elementos \(X_i\) não é válida. Disto segue que:

\[Var(\overline{X}) = \frac{\sigma^{2}}{n}\]

é caso particular de:

\[Var(\overline{X}) = \sigma^{2} \bigg(\frac{1}{n}-\frac{1}{N} \bigg)\]

Onde N é o tamanho populacional. Assim, para N finito e conhecido basta utilizar:

\[n' = \frac{n}{1+ n/N}\]

Note que se \(n\) for muito menor que \(N\) então \(n' \rightarrow n\) e

\[Var(\overline{X}) = \sigma^{2} \bigg(\frac{1}{n}-\frac{1}{N} \bigg) \rightarrow \frac{\sigma^{2}}{n}\]

Ou seja, converge para a amostragem anterior para população infinita.

12.1.3 Tamanho da amostra com \(\sigma\) desconhecido: média amostral

Como não temos \(\sigma\) temos que fazer uma amostra piloto com \(n_1\) elementos e estimar o desvio padrão da seguinte maneira:

\[S_1=\sqrt{\frac{\sum (X_i - \overline{X})^{2}}{n-1}}\]

Assim pode-se calcular:

\[n=\frac{S_1 ^{2} Z_c^{2}}{d^{2}} \]

Assim como temos já \(n_1\) elementos agora podemos complementar até chegar a a \(n\)

12.1.4 Proporção populacional

Agora queremos garantir que:

\[P(|\hat{p} - p|\leq d) = 1 - \alpha\]

O tamanho da amostra será tal que:

\[n=\frac{ Z_{c}^{2}}{d^{2}} p (1-p)\]

se não sabemos nada considerar \(p=0,5\), esse irá gerar a maior amostra para dado \(\alpha\) e \(d\)

O exemplo no R:

Vejamos como ficaria o tamanho amostral para uma pesquisa eleitoral onde consideramos que \(p=0.4\), \(1-p=0.6\), \(1-\alpha=0,95\) e iremos considerar varios \(d\), margem de erro. Ou seja, a primeira é dois pontos percentuais para mais ou menos, o segundo 1,5 pontos percentuais, o terceiro, 1 ponto e por fim 0,5 pontos percentuais. Vejamos o que essa mudança no que estamos ropensos a aceitar como margem de erro afeta o custo da pesquisa. Vimos que o valor por questionário era de R$53,00.

# Utilizando a tabela normal vimos que para alpha de 5% o 
  #valor de Zc é 1,96, sendo p=0.4 e q=0.6

# para uma margem de erro de 2 pontos para cima e para 
#baixo,tem-se 
1.96^2*0.4*0.6/(0.02^2)  # Tamanho amostral

[1] 2304.96

(1.96^2*0.4*0.6/(0.02^2))*53 # Custo da pesquisa

[1] 122162.9

# para uma margem de erro de 1.5 pontos para cima e para 
#baixo,tem-se 
1.96^2*0.4*0.6/(0.015^2)  # Tamanho amostral

[1] 4097.707

(1.96^2*0.4*0.6/(0.015^2))*53 # Custo da pesquisa

[1] 217178.5

# para uma margem de erro de 1 pontos para cima e para 
#baixo,tem-se 
1.96^2*0.4*0.6/(0.01^2)  # Tamanho amostral

[1] 9219.84

(1.96^2*0.4*0.6/(0.01^2))*53 # Custo da pesquisa

[1] 488651.5

# para uma margem de erro de 1 pontos para cima e para 
#baixo,tem-se 
1.96^2*0.4*0.6/(0.005^2)  # Tamanho amostral

[1] 36879.36

(1.96^2*0.4*0.6/(0.005^2))*53 # Custo da pesquisa

[1] 1954606

Notamos que para sairmos de uma margem de erro de 2 pontos para uma margem de erro de 0.5 pontos percentuais o custo sai de R$122 mil para quase R$ 2 milhões. O custo cresce de forma exponencial com o aumento da precisão.