16  Teste de Hipótese na prática

16.1 Introdução

Vamos separar em dois grupos de testes. Os testes sobre os parâmetros locacionais e os testes sobre probabilidades. Apesar do procedimento ser sempre aquele apresentado acima, existe mudanças na estatística que iremos utilizar dado a situação em questão.

16.1.1 Testes paramétricos para parâmetros locacional

16.1.1.1 Testes sobre Esperança de uma população com variância conhecida

Esse é nosso primeiro teste sobre a esperança populacional, \(\mu\) e ele parte do pressuposto que conhecemos a variância populacional, ou seja, \(\sigma^2=\sigma_0^2\). Vamos seguir os passos que mostramos anteriormente e construir o que seria a forma geral de testar uma hipótese neste caso;

1- Definindo a Hipótese

Podemos definir de forma Bicaudal ou Unicaudal

\[H_0: \mu=\mu_0\] \[H_1: \mu \neq \mu_0\]

ou

\[H_0: \mu=\mu_0\] \[H_1: \mu >\mu_0 \quad ou \quad H_1: \mu<\mu_0\]

2 - Definindo o Estimador

O estimador para a esperança já conhecemos, a média \((\bar{X})\). Para encontrar estimadores podemos utilizar uma das técnicas anteriores que vimos. \[\bar{X}=\frac{\sum_i{X_i}}{n}\] Sabemos que ao realizar um processo de amostragem aleatório, temos \(n\) medições de \(X\) (\(X_i\)) e cada uma dessas tem a mesma probabilidade de \(X\). Observamos \(x_i\). Dessa forma, considerando o TLC e a LGN tem-se: \[\bar{X}\sim N(\mu,\sigma^2/n)\]

Esse resultado é independente da distribuição de \(X\). Somente precisamos assumir normalidade de \(X\) para amostras pequenas, pois neste caso não conseguimos garantir as convergências em distribuição. Sob \(H_0\) temos o seguinte: \[\bar{X}\overset{H_0}{\sim} N(\mu_0,\sigma_0^2/n)\]

Logo o nosso Teste Estatístico \(T\), sob \(H_0\) será:

\[T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\overset{H_0}{\sim} N(0,1)\]

3 - Nivel de Significância e Região Crítica

O controle do Erro Tipo I ou o nível de significância é uma escolha do pesquisador. Em economia utilizamos 10%, 5% e 1%. Com base na sua escolha podemos estabelecer as regiões críticas para o teste. Para: \[H_0: \mu=\mu_0\] \[H_1: \mu \neq \mu_0\]

\[RC=\{t \in \mathbb{R} |t\leq - z_{c,\alpha/2} \quad \cup \quad t\geq z_{c,\alpha/2}\}\]

\[H_0: \mu=\mu_0\] \[H_1: \mu >\mu_0 \quad ou \quad H_1: \mu<\mu_0\]

\[RC_1=\{t \in \mathbb{R} | t\geq z_{c,\alpha}\}\]

ou

\[RC_2=\{t \in \mathbb{R} |t\leq - z_{c,\alpha} \}\]

4 - Cálculo do Teste Estatístico

Calcular o valor do teste estatístico com base na amostra retirada da população sob estudo. Agora teremos uma realização da média amostral das diversas possibilidades fornecidas pela distribuição de \(\bar{X}\). Tem-se: \[\bar{x}=\frac{\sum_i{x_i}}{n}\] Logo o valor do nosso teste estatístico será:

\[t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\]

Agora podemos comparar esse valor obtido com os valores ditos mais prováveis de ocorrerem sob \(H_0\). Basicamente faremos isso comparando o valor obtido, \(t\) com a nossa região crítica.

5 - Teste de hipótese

Assim se a nossa estimativa \(t\) pertencer a regiao crítica rejeitamos \(H_0\), ou seja, há evidências de que a afirmativa esteja errada. Caso não esteja na RC não rejeitamos \(H_0\) e portanto temos evidência de que esteja correto.

Vejamos agora um exemplo.

TipEXEMPLO

Suponha que temos uma máquina de empacotar que tem uma regulagem original com \(\mu=500\) e \(\sigma^{2}=400\). O gerente de qualidade da empresa mensalmente faz a aferição para verificar se a máquina está desregulada. Ele coleta aleatóriamente \(n=16\) pacotes e obteve a média \(\bar{x}=492\). O gerente deve parar a produção e chamar a equipe de manutenção ao nível de 1% de significância?

Resolvendo:

1 - Definindo a hipótese

Vamos adotar como hipótese nula a afirmação de que a máquina não desregulou. A hipótese alternativa é que a máquina pode ter desregulado para cima ou para baixo.

\[H_0: \mu=500 g\] \[H_{1}: \mu \neq 500 g\] Nesse caso utilizamos a hipótese bilateral.

2 - Definindo o Estimador

O estimador de \(\mu\) é a média \(\bar{X}\):

\[\bar{X}=\frac{\sum_iX_i}{16}\]

Sendo a distribuição desse estimador:

\[\bar{X}\sim N(\mu,\sigma^2/16)\]

Sob \(H_0\) temos a seguinte definição:

\[\bar{X}\overset{H_0}{\sim} N(500,400/16)\]

Logo o nosso Teste Estatístico \(T\), que nesse caso é a normal padronizada, sob \(H_0\) será :

\[T=\frac{\bar{X}-500}{20/\sqrt{16}}\overset{H_0}{\sim} N(0,1)\]

3 - Nivel de Significância e Região Crítica

Considerando o nível de 1% de significância temos a seguinte região crítica para T, com base na tabela:

\[RC=\{t \in \mathbb{R} |t\leq - z_{c,0.025} \quad \cup \quad t\geq z_{c,0.025}\}= \{ t \in \mathbb{R}| t\leq -2.58 \quad \cup \quad t\geq 2,58 \}\]

4 - Cálculo do Teste Estatístico

Com base nas 16 elementos amostrados de \(X\), obtivemos:

\[\bar{x}=\frac{\sum_i{x_i}}{16}=492\]

Logo o valor do nosso teste estatístico será:

\[t=\frac{492-500}{20/4}=\frac{-8}{5}=1.6\]

Agora podemos comparar esse valor obtido com os valores ditos mais prováveis de ocorrerem sob \(H_0\). Basicamente faremos isso comparando o valor obtido, \(t\) com a nossa região crítica.

5 - Teste de Hipótese

Com base no \(t\) calculado procedemos o teste de hipótese. Sadendo que a RC é:

\[RC= \{ t \in \mathbb{R}| t\leq -2.58 \quad \cup \quad t\geq 2,58 \}\]

Como \(t=1.6\) ele não pertence a região, logo não rejeitamos \(H_0\), não há evidências de que a máquina desregulou e o gerente não deveria parar a produção para fazer a manutenção.

Uma outra maneira de fazermos é ao invés de utilizarmos a normal padronizada, encontrarmos quais são os limites da região crítica na distribuição de \(\bar{X}\). Assim poderemos fazer para o nível de significância, \(\alpha\) de 1%:

\[z_{c_1}=-2,58=(\overline{x}_{c1}-500)/5=487,1\]

\[z_{c_2}=2,58=(\overline{x}_{c2}-500)/5=512,9\]

Logo a região crítica análoga na distribuição de \(\bar{X}\) será:

\[RC=\{\overline{x} \in R | \overline{x} \leq 487,1 \ \text{ou} \ \overline{x}\geq512,9 \}\]

Como a amostra tem média \(\overline{x}=492\) ela não pertence à região críitica então não rejeitamos \(H_0\).

Vejamos a simulação e os valores críticos e o \(\bar{x}\) calculado.

x<-seq(480,520,0.1) 
fdnorm<-dnorm(x = x, mean = 500, sd=5)  
fdnorm1<-dnorm(x = x, mean = 500, sd=5)
regiao=seq(512.9,520,0.01)
cord.x <- c(min(regiao),regiao,max(regiao))
cord.y <- c(0,dnorm(regiao,mean=500, sd=5),0) 
curve(dnorm(x,500,5),xlim=c(480,520),xlab=expression(bar(x)),type="l",
      col="steelblue4",lwd=2, ylab=expression(paste("f(", bar(x),
      ")")),xaxt="n",cex.axis=0.65, cex.lab=0.8 ) 
axis(1,at=c(487.1, 492, 495, 500, 505, 510, 512.9, 515),labels =
       c(487.1, 492, 495, 500, 505, 510, 512.9, 515),cex.axis=0.7, cex.lab=0.8) 
polygon(cord.x,cord.y,col='steelblue4')
abline(v=512.9, col="steelblue4", lty=2, lwd=2)
abline(v=492, col="wheat4", lty=2, lwd=2)
text(500, 0.001, expression(mu))
text(517, 0.01, expression(paste(alpha,"/2", "=0.025")))
text(517, 0.04, expression("RC"))
text(494, 0.01, expression(paste(bar(x),"=492")))

par(new=TRUE)
curve(dnorm(x,500,5),xlim=c(480,520),xlab=expression(bar(x)),type="l",
      col="steelblue4",lwd=2, ylab=expression(paste("f(", bar(x),
      ")")),xaxt="n",cex.axis=0.65, cex.lab=0.8 ) 
axis(1,at=c(487.1, 492, 495, 500, 505, 510, 512.9, 515),labels =
       c(487.1, 492, 495, 500, 505, 510, 512.9, 515),cex.axis=0.7, cex.lab=0.8) 
regiao=seq(480,487.1,0.01)
cord.x <- c(min(regiao),regiao,max(regiao))
cord.y <- c(0,dnorm(regiao,mean=500, sd=5),0)
polygon(cord.x,cord.y,col='steelblue4')
abline(v=487.1, col="steelblue4", lty=2, lwd=2)
text(483, 0.01, expression(paste(alpha,"/2", "=0.025")))
text(483, 0.04, expression("RC"))

Nível de significância e p-valor

Observamos na distribuição de \(\bar{X}\), a qual foi construída considerando \(H_0\) verdadeira, os valores críticos 487.1 e 512.9, bem como as regiões críticas. Nota-se que o valor de \(\bar{x}\) não está dentro da RC e portanto, não rejeitamos \(H_0\).

16.1.1.2 Utilizando a Probabilidade de Cauda ou Probilidade de Significância ou p-valor

Para fixarmos a ideia de p-valor, vamos fazer agora um teste de hipótese considerando apenas a probabilidade de cauda, ou probabilidade de significância ou o p-valor. O nome mais comum é p-valor. Agora não construiremos mais a região crítica e iremos calcular com base na estatística:

\[P(T\geq t_0|H_0)=p-valor=\hat{\alpha}\]

Vejamos um exemplo:

TipEXEMPLO

Uma empresa de transporte intermunicipal que ganhou uma concessão do Estado afirma que o tempo de viagem, \(X\), entre duas cidades de acordo com seus estudos preliminares pode ser assim descrito:

\[X \sim N (300,30^{2})\]

Inclusive esse tempo foi um dos critérios utilizados no processo de cessão. O Ministério Público desconfia e acredita que esse valor é maior. O MP faz um estudo considerando 10 viagens aleatórias e encontra que \(\overline{x}=314\). O MP deve se reunir com a empresa e pedir um ajustamento de conduta?

Resolvendo:

1 - Definindo a hipótese

\[H_0: \mu=300\]

\[H_1: \mu\geq 300\]

2 - Definindo o Estimador

Sabemos que \(\bar{X}\) será:

\[\overline{X} \sim N (\mu; \sigma^{2}/10 )\]

e considerando que a empresa está correta, ou seja, sob \(H_0\):

\[\overline{X} \sim N (300; 900/10)\]

3 - Nivel de Significância e Região Crítica

Não precisamos mais calcular!!

4 - Cálculo do Teste Estatístico

Com \(\bar{x}_0=314\) e sob \(H_0\), calculamos a probabilidade de ocorrência de amostras com o valor iguais ou superiores a \(\overline{x}=314\):

\[P(\bar{x}>314)=P \bigg(z>\frac{314-300}{9.49} \bigg)=P(z>1,48)=0,07\]

\[\hat{\alpha}=p-valor=7\%\]

Caso fosse bicaudal e sabendo que a distribuição é simétrica poderiamos considerar:

\[\hat{\alpha}=14\%\]

5 - Teste de Hipótese

Considerando o teste unilateral, temos agora a força da rejeição. A chance de retirarmos 314 ou mais é de 7%. Apesar de baixo poderia ocorrer. Não parece muito improvável, tanto que se considerarmos \(\alpha=1\%\) ou \(\alpha=5\%\) não rejeitamos. Só rejeitariamos \(H_0\) se \(\alpha=10\%\). Podemos concluir que as evidências não nos revelam que a empresa está tendo um tempo maior de viagem, apesar dessa conclusão não ser tão forte.

16.1.2 Teste sobre a Esperança de uma população normal com variância desconhecida

O procedimento aqui é análogo ao que fizemos anteriormente para testar a média quando conheciamos o desvio populacional \(\sigma\). Entretanto o nosso teste estatístico que era:

\[T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\]

Não pode ser calculado pois não conhecemos mais \(\sigma_0\). Temos que substituir esse parâmetro pela sua estimativa.

\[S_X^2=\frac{1}{n-1}\sum_i (X-\bar{X})^2\]

Dessa forma, nosso novo teste estatístico será:

\[T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S_X/\sqrt{n}}\]

Nossa questão agora é qual a distruibuição desse teste? Agora tanto \(\bar{X}\) como \(S_X\) são variáveis aleatórias e possuem distriuição. Para verificar, vamos dividir o numerador e o denominador por uma constante - desvio, \(\sigma\)

\[\frac{\bar{X}-\mu}{S_X / \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S_X} \div \sigma \rightarrow \frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu) / \sigma}{s / \sigma}\]

Analisando o numerador:

\[z=\frac{(\bar{x}-\mu)}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)\]

Analisando o denominador e assumindo que X tem uma distribuição normal:

\[(s/ \sigma)^{2} \Rightarrow \frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}} /(n-1) \sim \chi^{2}_{(n-1)}\]

Temos a divisão de uma normal \(N(0,1)\) por \(\sqrt{\chi^2_{n-1}}\) dividido pelo número de graus de liberdade

\[\left[\frac{N(0,1)}{\frac{\sqrt{\chi^{2}_{n-1}}}{ n-1}}\right]\]

Portanto nosso teste estatístico será:

\[T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S_X} \sim t(n-1)\]

E terá uma distribuição t-student com n-1 graus de liberdade. Agora nossa região crítica tem que ser construída com base na tabela da distribuição t.Para o caso bicaudal:

\[RC=\{t \in \mathbb{R} |t\leq - t_{c,\alpha/2} \quad ou \quad t\geq t_{c,\alpha/2}\}\] Para o caso unicaudal:

\[RC_1=\{t \in \mathbb{R} | t\geq t_{c,\alpha}\} \quad ou \quad RC_2=\{t \in \mathbb{R} |t\leq -t_{c,\alpha} \}\]

Agora vejamos um exemplo:

TipEXEMPLO

Um fabricante afirma que seus cigarros não contém mais do que 30mg de nicotina. O Ministério da Saúde está desconfiado dessa afirmativa e acredita que o conteúdo de nicotina é maior do que o anunciado (teste unilateral). Foi realizada uma amostra de 25 cigarros e o teor médio de nicotina nos mesmos foi \(\overline{x_0}=31,5mg\) e o desvio padrão amostral \(S_X=3mg\). Com \(\alpha=5\%\) os dados confirmam a informação?

1 - Definindo a hipótese

\[H_0: \mu=30\]

\[H_1: \mu\geq30\]

2 - Definindo o Estimador

O estimador de \(\mu\) é a média \(\bar{X}\):

\[\bar{X}=\frac{\sum_iX_i}{25}\]

Logo o nosso Teste Estatístico \(T\), que nesse caso é a padronização de \(\bar{X}\) e considerando o estimador da variância será, sob \(H_0\):

\[T=\frac{\bar{X}-30}{3/\sqrt{25}}\overset{H_0}{\sim} t(24)\]

3 - Nivel de Significância e Região Crítica

Considerando o nível de 5% de significância e teste unilateral temos a seguinte região crítica para T, com base na tabela t-student:

\[RC=\{t \in \mathbb{R} |t\geq t_{24,0.05} \}= \{t \in \mathbb{R} |t\geq 1,711 \}\]

Todos os valores da estatística acima de 1,711 fazem parte da nossa região crítica.

4 - Cálculo do Teste Estatístico

Foram amostrado 25 elementos de \(X\), obtivemos:

\[\bar{x}=\frac{\sum_i{x_i}}{25}=31.5\]

Logo o valor do nosso teste estatístico será:

\[t=\frac{31.5-30}{3/5}=\frac{1.5}{0.6}=2.5\]

Agora podemos comparar o valor obtido, \(t\) com a nossa região crítica.

5 - Teste de Hipótese

Nosso teste foi \(T=2.5\) e nossa região crítica \(RC=\{t\geq 1,711 \}\). Logo pertence à região crítica. Dessa forma, rejeitamos \(H_0\) mostrando que há evidências de que o teor de nicotina é maior do que o anunciado pela firma.

6 - Extra 1: Probabilidade de cauda ou p-valor

Vamos ver qual a probabilidade de encontrarmos os valores \(T=2.5\) ou maiores em uma amostra que veio de uma população sob \(H_0\) ou seja, \(\mu=30g\).

\[\hat{\alpha}=P\left(T>t_{0}| H_{0}\right)=P\left(T>2,5 | H_{0}\right)=0,01,\]

o que também leva à rejeição de \(H_0\) ao nível de 5% de confiança.

7 - Extra 2: O Intervalo e Confiança

Como rejeitamos, poderiamos estar interessados em descobrir onde estaria a verdadeira média populacional ao nível de 5% de confiança. Vamos calcular o intervalo de confiança para 5% ( \(t_\gamma=2,064\)):

\[\begin{array}{ccc} I C(\mu ; 0.95)=31,5 \pm(2.064) 3/\sqrt{25} \\ \\ I C(\mu ; 0.95)=\{30.26 ; 32.74\} \\ \\ \end{array}\]

Logo o verdadeiro parâmetro populacional \(\mu\) estaria entre \(30.26\) e \(32.74\).

8 - Extra 3: Simulando o nosso problema

Vamos agora simular a distribuição t-student sob \(H_0\) e verificar o valor obitido, a RC e o p-valor

x<-seq(-4,4,0.1) 
fdt<-dt(x = x, df = 24)  
fdt1<-dt(x = x, df = 24)
regiao=seq(1.711,4,0.01)
cord.x <- c(min(regiao),regiao,max(regiao))
cord.y <- c(0,dt(regiao,df=24),0) 
curve(dt(x,df = 24),xlim=c(-4,4),xlab=expression(t),type="l",
      col="steelblue4",lwd=2, ylab=expression(paste("f(", bar(t),
      ")")),xaxt="n",cex.axis=0.65, cex.lab=0.8 ) 
axis(1,at=c(-4,-3,-2,-1, 0, 1, 1.71,2.5,3, 4),labels =
       c(-4,-3,-2,-1, 0, 1, 1.71,2.5,3, 4),cex.axis=0.7, cex.lab=0.8) 
polygon(cord.x,cord.y,col='wheat4')
abline(v=1.711, col="wheat4", lty=2, lwd=2)
text(0, 0.001, expression(mu))
text(2.2, 0.15, expression(paste(alpha, "=0.05")))
text(3, 0.25, expression("Região Crítica"))

par(new=TRUE)
curve(dt(x,df = 24),xlim=c(-4,4),xlab=expression(t),type="l",
      col="steelblue4",lwd=2, ylab=expression(paste("f(", bar(t),
      ")")),xaxt="n",cex.axis=0.65, cex.lab=0.8 )  
regiao=seq(2.5,4,0.01)
cord.x <- c(min(regiao),regiao,max(regiao))
cord.y <- c(0,dt(regiao,df=24),0)
polygon(cord.x,cord.y,col='steelblue4')
abline(v=2.5, col="steelblue4", lty=2, lwd=2)
text(3.3, 0.05, expression(paste("p-value=0.01")))

Nível de significância e p-valor para distribuição t-student

16.1.3 Comparação de duas populações normais: amostra independente

Nesse caso não quero mais saber se a esperança de uma população é igual a um determinado valor \(H_0:\mu=k\) agora queremos saber se uma população possui o mesmo valor de esperança que a outra população. Por exemplo se a renda per capita é da cidade é igual a renda per capita no campo. Agora comparamos duas médias \(H_0:\mu_1=\mu_2\). Aqui assumimos que elas são normais e as amostras são independentes:

\[P_1 \sim N(\mu_1,\sigma^2_1)\]

\[P_2 \sim N(\mu_2,\sigma^2_2)\]

1 - Definindo a hipótese

\[H_0: \mu_1=\mu_2\]

\[H_1: \mu_1\neq\mu_2\]

2 - Definindo o Estimador

Supondo que retiramos uma amostra de \(n\) elementos da população 1 \(X\) e de \(m\) elementos da população 2, \(Y\). Sob \(H_0\) temos:

\[\begin{array}{ccc} \mathbb{E}(\overline{X}-\overline{Y})=\mathbb{E}(\overline{X})-\mathbb{E}(\overline{Y})=\mu_X-\mu_Y=0 \\ Var(\overline{X}-\overline{Y})=Var(\overline{X})+Var(\overline{Y})=\frac{\sigma^2_X}{n}+\frac{\sigma^2_Y}{m} \end{array}\]

2.1 - Caso 1: Para variâncias conhecidas

Sob a hipótese de que \(H_0\) é verdadeira:

\[T=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_X-\mu_Y)}{\sqrt{\frac{\sigma^2_X}{n}+\frac{\sigma^2_Y}{m}}}\]

\[T=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})}{\sqrt{\frac{\sigma^2_X}{n}+\frac{\sigma^2_Y}{m}}}\sim N(0,1)\]

Dessa forma construímos nossa região crítica com base nos valores críticos determinados pelo nosso nível de significância (\(\alpha\)) na normal padrão \((\phi)\), ou seja, \(z_{c,\alpha}\)

O intervalo de confiança nesse casos seria:

\[IC(\theta;\gamma)=(\overline{x_0}-\overline{y_0})\pm z_{\gamma}\sqrt{\frac{\sigma^2_X}{n}+\frac{\sigma^2_Y}{m}}\]

2.2 - Caso 2: Para variância desconhecida e iguais

No teste de igualdade de variância essa não foi rejeitada. Temos que \(S_1^2\) e \(S_2^2\) são dois estimadores não viesados de \(\sigma^2\). Novamente retiramos uma amostra de \(n\) elementos da população 1 \(X\) e de \(m\) elementos da população 2, \(Y\). Assim:

\[S_p^2=\frac{(n-1)S_X^2+(m-1)S_Y^2}{n+m-2}\]

Para testar a hipótese nula utiliza-se:

\[T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{S_p\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\sim t_{(n+m-2)}\]

Dessa forma construímos nossa região crítica com base nos valores críticos determinados pelo nosso nível de significância (\(\alpha\)) na t-student \(t(n+m-2))\), ou seja, \(t_{\alpha,(n+m-2)}\)

Construímos o seguinte Intervalo de confiança:

\[IC(\theta;\gamma)=(\overline{x_0}-\overline{y_0})\pm t_{\gamma,(n+m-2)}S_p\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}\]

2.3 - Caso 3: Para variâncias desconhecidas e desiguais

Agora a hipótese de igualdade de variância for rejeitada, as duas populações possuem variâncias distintas, logo:

\[T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{S_X^2/n+S_Y^2/m}}\sim t_{(v)}\]

Para encontrar o grau de liberdade \(v\):

\[v=\frac{(A+B)^2}{\frac{A^2}{(n-1)}+\frac{B^2}{(m-1)}},\]

onde:

\[A=\frac{S_X^2}{n} \qquad B=\frac{S_Y^2}{m}\]

Novamente, nossa região crítica é elaborada com base nos valores críticos determinados pelo nosso nível de significância (\(\alpha\)) na t-student \(t(v)\), ou seja, \(t_{\alpha,(v)}\)

Construímos o seguinte Intervalo de confiança:

\[IC(\theta;\gamma)=(\overline{x_0}-\overline{y_0})\pm t_{\gamma,(v)}\sqrt{S_1^2/n+S_2^2/m}\]

Vejamos agora dois exemplos. O primeiro é para as variâncias conhecidas e o segundo para variâncias desconhecidas mas iguais!

TipEXEMPLO

Teste de diferença de médias com variâncias conhecidas

Uma empresa propos um novo sistema de monitoramento de processo e quer verificar se esse faz com que os funcionarios tenham melhor performance. Foi feito um ensaio com 8 funcionários sob o monitoramento atual \((X)\) e a performance média registrada foi de 80.5 pontos. Sabe-se que o desvio padrão populacional, \(\sigma_X=1.5\). Foi feito outro ensaio com 10 funcionários sob o novo monitoramento \((Y)\) e a performance foi de 81.3 pontos. Aqui também conhecemos o desvio padrão populacional, \(\sigma_X=3.8\)

1 - Definindo a hipótese

Vamos adotar o teste unilateral pois sabemos que o novo processo pode performar igual ou melhor e não pior.

\[H_0: \mu_X=\mu_Y\]

\[H_1: \mu_X\leq\mu_Y\]

2 - Defindo o Estimador

Para variância conhecida e considerando a a hipótese nula utiliza-se o seguinte estimador:

\[T=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})}{\sqrt{\frac{\sigma^2_X}{n}+\frac{\sigma^2_Y}{m}}}\sim N(0,1)\]

3 - Nivel de Significância e Região Crítica

Considerando o nível de 5% de significância e teste unilateral temos a seguinte região crítica para T, com base na tabela normal padrão, \(z_{c,0.05}\):

\[RC=\{t \in \mathbb{R} |t\leq z_{c,0.05} \} = \{t \in \mathbb{R} |t\leq -1.645 \}\]

4 - Cálculo do Teste Estatístico

Calculando a variância ponderada:

\[T=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})}{\sqrt{\frac{\sigma^2_X}{n}+\frac{\sigma^2_Y}{m}}}= \frac{(80.5-81.3)}{\sqrt{\frac{1.5^2}{8}+\frac{3.8^2}{10}}}= -0.61\sim N(0,1)\]

5 - Teste de Hipótese

Como -0.61 não está na região crítica, não rejeitamos a hipótese nula de que os dois processos de monitoramento produzem o mesmo resultado. Isso indica que se houver algum custo adicional na implementação do monitoramento 2, esse será um prejuízo para a empresa.

6 - Simulando as duas distribuições

Veja nas simulações como as duas distribuições estão próxima uma da outra indicando que não conseguimos diferenciar. Isso é a explicação visual do porque não houve diferença entre as médias dos dois monitoramentos.

x<-seq(77,85,0.1) 
curve(dnorm(x,80.5,0.53),xlim=c(77,85),xlab=expression(bar(x)),type="l",
      col="steelblue4",lwd=2, ylab=expression(paste("f(", bar(x),
      ")")),xaxt="n",cex.axis=0.65, cex.lab=0.8 ) 
axis(1,at=c(77,80.5,81.3, 85),labels =
       c(77,80.5,81.3, 85),cex.axis=0.7, cex.lab=0.8) 
abline(v=80.5, col="steelblue4", lty=2, lwd=2)
par(new=TRUE)
curve(dnorm(x,81.3,1.2),xlim=c(77,85),xlab=expression(bar(x)),type="l",
      col="wheat4",lwd=2, ylab=expression(paste("f(", bar(x),
      ")")),xaxt="n",yaxt="n",cex.axis=0.65, cex.lab=0.8 ) 
abline(v=81.3, col="wheat4", lty=2, lwd=2)

Simulando as duas distribuições do monitoramento, supondo normalidade

TipEXEMPLO

Teste de diferença de médias com variâncias desconhecidas e iguais

Uma empresa está testando duas misturas de concretos os quais são feitos com cimento de diferentes minas. A mistura 1 é a mistura padrão feita com o cimento já conhecido. A mistura 2 usa a mesma receita mas utiliza um cimento vindo de uma nova mina. A empresa quer saber se as duas misturas produzem a mesma qualidade de produto, ou seja, que a carga de ruptura do concreto após 28 dias é a mesma em \(kg/cm^2\). A tabela abaixo traz os testes laboratoriais e gostariamos de saber se ao nível de 5% de confiança as duas misturas possuem a mesma esperança?

Resolvendo:

Considerando que \(X\) é a carga de ruptura da mistura 1 \((x_1, x_2, ...., x_{12})\) e que \(Y\) é a carga de ruptura da mistura 2 \((y_1, y_2, ...,y_{10})\). Vamos calcular as médias e desvio padrões amostrais:

\[\begin{array}{ccc} n=12 \ \qquad \sum_iX_i=183.8 \ \qquad \sum_iX_i^2=2816.92 \\ \\ m=10 \ \qquad \sum_iY_i=148.3 \ \qquad \sum_iY_i^2=2200.81 \\ \\ \overline{X}=\frac{\sum_iX_i}{n}=15.316 \\ \\ \overline{Y}=\frac{\sum_iY_i}{n}=14.83 \\ \\ S_X^2=\frac{\sum_iX_i^2-2\overline{X}\sum_iX_i+n\overline{X}^2}{n-1}=0.1561 \Rightarrow S_X=0.395 \\ \\ S_Y^2=0,1690 \Rightarrow S_Y=0.411 \end{array}\]

1 - Definindo a hipótese

\[H_0: \mu_X=\mu_Y\]

\[H_1: \mu_X\neq\mu_Y\]

2 - Defindo o Estimador

Para variância desconhecida e iguais e assumindo que ambas as populações possuem distribuição normal. Sob a hipótese nula utiliza-se utiliza-se o seguinte estimador:

\[T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{S_p\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\sim t_{(n+m-2)}\] Sendo:

\[S_p^2=\frac{(n-1)S_X^2+(m-1)S_Y^2}{n+m-2}\]

3 - Nivel de Significância e Região Crítica

Considerando o nível de 5% de significância e teste bilateral temos a seguinte região crítica para T, com base na tabela t-student, \(t_{(12+10-2)}=t_{(20)}\)

\[RC=\{t \in \mathbb{R} |t\leq t_{(20),0.025} \quad \cup \quad t\leq t_{(20),0.025} \} = \{t \in \mathbb{R} |t\leq -2.086 \quad \cup \quad t\geq 2.086 \}\]

4 - Cálculo do Teste Estatístico

Calculando a variância ponderada:

\[S_p^2=\frac{(n-1)S_X^2+(m-1)S_Y^2}{n+m-2}=\frac{(11)0.1561+(9)0.169}{12+10-2}= 0.1619\] Portanto o teste estatístico será:

\[T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{S_p\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}=\frac{15.316-14.83}{0.1619\sqrt{\frac{1}{12}+\frac{1}{10}}}= 2.84\sim t_{(12+10-2)}\]

5 - Teste de Hipótese

Como 2.84 está na região crítica rejeitamos a hipótese de que as duas misturas produzem concretos com a mesma carga de ruptura, indicando que há evidências de que a carga de ruptura da nova mistura 2 é menor do que a mistura original.

6 - Extra: Simulando as duas distribuições

Podemos observar as duas distribuições da média para a mistura 1 e para a mistura 2. Observa-se que elas estão distantes uma da outra indicando visualmente que elas vem de populações distintas.

x<-seq(14.3,15.8,0.1) 
curve(dnorm(x,15.316,0.1140),xlim=c(14.3,15.8),xlab=expression(bar(x)),type="l",
      col="steelblue4",lwd=2, ylab=expression(paste("f(", bar(x),
      ")")),xaxt="n",cex.axis=0.65, cex.lab=0.8 ) 
axis(1,at=c( 14.5, 14.83, 15, 15.31,15.5),labels =
       c( 14.5, 14.83, 15, 15.31,15.5),cex.axis=0.7, cex.lab=0.8) 
abline(v=15.316, col="steelblue4", lty=2, lwd=2)
text(14.83, 1.5, expression(paste("Mistura 1")))
par(new=TRUE)
curve(dnorm(x,14.83,0.13),xlim=c(14.3,15.8),xlab=expression(bar(x)),type="l",
      col="wheat4",lwd=2, ylab=expression(paste("f(", bar(x),
      ")")),xaxt="n",yaxt="n",cex.axis=0.65, cex.lab=0.8 ) 
abline(v=14.83, col="wheat4", lty=2, lwd=2)
text(15.31, 1.5, expression(paste("Mistura 2")))

Simulando as duas distribuições do monitoramento, supondo normalidade.

16.1.4 Testes Paramétricos sobre Probabilidades

16.1.4.1 Teste para proporção

Aqui estamos interessados em eventos que podem ocorrer (1) e que não podem ocorrer (0), tratados em geral por uma distribuição Binomial. Aqui podemos citar exemplos de pesquisas eleitorais, pessoas favoráveis a uma política, empresas que entraram em recuperação judicial, indiívuos que possuem dívida em atraso etc. Vamos trabalhar aqui com a estratégia de aproximação da binomial pela normal.

1- Definindo a Hipótese

Podemos definir de forma Bicaudal ou Unicaudal

\[H_0: p=p_0\] \[H_1: p \neq p_0\] ou

\[H_0: p=p_0\] \[H_1: p >p_0 \quad ou \quad H_1: p<p_0\]

2 - Definindo o Estimador

O estimador para a proporção seria \(\hat{p}=\frac{\sum_i{X_i}}{n}\). Para encontrar o teste estatístico utilizaremos a ideia de aproximação da binomial pela normal.
Sabemos pelo que vimos anteriormente que ao realizar um processo de amostragem aleatório, temos \(n\) medições de \(X\) (\(X_i\)) e cada uma com a mesma distribuição de \(X\) - binomial. Observamos \(x_i\). Dessa forma, considerando o TLC e a LGN tem-se:

\(\mu=np\) e que \(\sigma^2=np(1-p)\). Para um \(n\) suficientemente grande,\(X \sim b(n,p)\) pode ser aproximado por \(N(np,np(1-p))\).

Como, \(\hat{p}=\frac{\sum_i{X_i}}{n}\), a distribuição da proporção amostral será \(\hat{p} \sim N(p,p(1-p)/n)\)

Portanto Sob \(H_0\) o nosso Teste Estatístico \(T\), será:

\[T=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}\sqrt{n}\overset{H_0}{\sim} N(0,1)\]

3 - Nivel de Significância e Região Crítica

Novamente em economia utilizamos 10%, 5% e 1%. Com base na sua escolha podemos estabelecer as regiões críticas para o teste. Para:

\[H_0: p=p_0\]

\[H_1: p \neq p_0\]

\[RC=\{t \in \mathbb{R} |t\leq - z_{c,\alpha/2} \quad \cup \quad t\geq z_{c,\alpha/2}\}\]

\[H_0: p=p_0\]

\[H_1: p >p_0 \quad ou \quad H_1: p<p_0\]

\[RC_1=\{t \in \mathbb{R} | t\geq z_{c,\alpha}\}\]

ou

\[RC_2=\{t \in \mathbb{R} |t\leq - z_{c,\alpha} \}\]

4 - Cálculo do Teste Estatístico

Calcular o valor do teste estatístico com base na amostra retirada da população sob estudo. Agora teremos uma realização da proporção amostral das diversas possibilidades fornecidas pela distribuição de \(\hat{p}\). Tem-se:

\[\hat{p}=\frac{\sum_i{x_i}}{n}\]

Logo o valor do nosso teste estatístico será:

\[t=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}/\sqrt{n}}\]

Comparamos o valor obtido, \(t\) com a nossa região crítica.

5 - Teste de hipótese

Assim se a nossa estimativa \(t\) pertencer a região crítica rejeitamos \(H_0\). Caso não esteja na RC não rejeitamos \(H_0\).

Vejamos agora um exemplo extraído de Bussab e Moretim:

TipEXEMPLO

Temos uma estação de TV que afirma que \(60\%\) das Tv’s estavam sintonizadas no seu programa as 20h. Uma emissora concorrente contesta essa afirmação dizendo que na verdade esse percentual é bem menor. Ela contrata uma empresa para verificar quem está com a razão, pois isso tem impactos diretos sobre a quantidade de propaganda que conseguem negociar. Essa empresa contratou você para realizar o teste. Já antecipando fez um processo de amostragem com 200 famílias e ao nível de significância de 5% quem teria razão? (teste unilateral)

Resolvendo:

1- Definindo a Hipótese

Definindo de forma Unicaudal

\[H_0: p=0,60\]

\[H_1: p<0,60\]

2 - Definindo o Estimador

Sob \(H_0\) temos o seguinte Teste Estatístico.

\[T=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}/\sqrt{n}}=\frac{\hat{p}-0.6}{\sqrt{0.6(0.4)}}\sqrt{200} \sim N(0;1)\]

3 - Nivel de Significância e Região Crítica

Supondo \(H_0\) verdadeira, \(\alpha=0,05\) e utilizando a tabela da Normal Padrão:

\[RC=\{t \in \mathbb{R} | t \leq -1.645 \}\]

4 - Cálculo do Teste Estatístico

A mostra de 200 elementos mostrou que 104 lares estavam ligado no programa, ou seja, 52%. Dessa forma podemos calcular nosso Teste Estatístico:

\[t=\frac{0.52-0.6}{\sqrt{0.6(0.4)}}\sqrt{200} = -2.309\]

o qual pertence a região crítica.

Uma outra maneira de proceder seria utilizar a distribuição de \(\hat{p} \sim N(0.6; 0.24/200)\) sob \(H_0\) para encontrarmos o valor crítico e a região crítica na distribuição de \(\hat{p}\). Procedemos da seguinte maneira:

\[\begin{array}{ccc} \frac{p_{c}-0,6}{\sqrt{\frac{0,24}{200}}}=\frac{p_c-0,6}{0,03464}=-1,65\Rightarrow p_c-0,6=0,057157 \Rightarrow p_c=0,5428 \\ RC=\{\hat{p} \subset R | \hat{p}\leq0,5428\}\} \end{array}\]

Como \(\hat{p}=0.52\) esse pertence a região crítica. Os resultados são análogos.

5 - Teste de hipótese

Assim, como -2.309 (ou 0.52) está na região crítica rejeitamos \(H_0\). Há evidências de que a emissora não teve \(60\%\) da audiência e sim menos.