8 Modelos Lineares

Aplicação a Pesquisa em Direito

Author

Alexandre Nicolella

Published

March 12, 2024

Vamos iniciar o estudo de modelos lineares começando pela Regresão Linear Simples (RLS). Mais específicamente, vamos estudar a RLS no contexto de dados de corte transversal. Tal abordagem, segmentada por tipos de dados, facilíta o entendimento das hipóteses do modelo.

Os conceitos estatísticos aplicados no estudo de RLS são os mesmos apresentados na seção anterior.

O matérial desta seção é baseado na 4ed do livro de Jeffrey Wooldridge, Introdução à Econometria: Uma Abordagem Moderna, de 2013. Embora o título do livro remeta à econometria, os modelos apresentados no livro são aplicaveis à diversas Ciências Sociais, tais como o Direito, Ciência Política, Sociologia, Psicologia Empírica etc…

A análise de Regressão é um instrumento poderoso para os centistas sociais. Podemos verificar como determinadas variáveis importantes nas ciencias sociais interagem com outras, as vezes em uma relação de causa e efeito.

Aqui também teremos que ter uma questão ou problema. Anteriormente gostariamos de entender o que estava acontecendo, qual a Renda pc das mulheres, qual a taxa de feminicídio… Agora queremos ir mais a fundo, porque determinados bairros tem mais crime do que outros? O que determina a renda pc de uma mulher?

8.1 Introdução

Começamos com o modelo mais geral da população:

\[y = \beta_0 + \beta_1x + u \]

Nesta equação, $y$ é a variavel dependente ou também denominada de variável explicada; $x$ é a variável explicativa e $u$ é o termo de erro. Essa equação é uma equação de regressão linear simples.

Vejamos um exemplo

Gostariamos de explicar a taxa de crimes nos bairros de uma cidade e consideramos que os níveis de desemprego nas localidades são importantes. Nosso modelo de regressão poderia ser específicado da seguinte maneira:

\[Crime_i = \beta_0 + \beta_1Desemprego_i + u\]

O subscrito $i$ se refere a um bairro hipotético da cidade. Note que nesse caso, $i$ é o subscrito que relaciona nossas unidades de observação (bairros). Nossas unidades de observação podem variar a depender do contexto em estudo: países, cidades, bairros, estados, pessoas, processos, varas, tribunais….

Note que, novamente o termo de erro, $u$, está presente na equação. O termo de erro, não observado, capta tudo aquilo que afeta $Crime$, mas que não estamos controlando, ou seja, que não é explicado pelo $Desemprego$.

Voltemos a equação básica:

\[y = \beta_0 + \beta_1x + u \]

Na análise de RLS estamos interessados nos parâmetros $\beta_0$ e sobretudo $\beta_1$. A razão primordial para isso é que, tudo o mais constante, a relação acima aponta que

\[\Delta y = \beta_1 \Delta x \] , se \[\Delta u = 0\]

Isto é, se tudo o mais que afeta $y$ permanecer inalterado, uma variáção em $x$, $\Delta x$, terá um impacto de $\beta_1 \Delta x$ em $y$. No exemplo da criminalidade, teremos que:

\[\Delta crime = \beta_1 \Delta desemprego \]

Assim, o aumento de 1 ponto no desemprego irá ter o efeito de $\beta_1$ unidades de crimes em média. Por isso, quando conseguimos estimar os parêmetros $\beta$ estamos mais próximos de entender as relações entre $x$ e $y$ em nossas aplicações.

Cabe destacar algo bastante importante.As relações acima não encerram a questão da causalidade. Como podemos inferir um impacto causal do desemprego na criminalidade se estamos ignorando todos os demais fatores que ficaram de fora do modelo - fatores que são captados em $u$ não observados.

8.1.1 Alguns Exemplos de Regressão Aplicados ao Contexto Jurídico:

Considere os seguintes exemplos de RLS aplicadas ao contexto do Direito

Previsão de Sentenças com Base na Gravidade do Crime:

Variável dependente $(Y)$: Tamanho da pena,
Variável independente$(X)$: Gravidade do Crime,
Objetivo: Identificar se a gravidade do crime tem influência sobre tamanho da pena.

Nesse exemplo $\beta_0$ é o intercepto da regressão e $\beta_1$ o coeficiente de regressão que representa como a gravidade do crime influência o tamanho da pena, $u$ é o termo de erro.

\[Dpena = \beta_0 + \beta_1{\text{Gravidade}} + u\]

Análise de Fatores que Influenciam o Tempo de Julgamento:

Variável Dependente ($Y$): Tempo de Duração do Processo
Variável Independente ($x$), Tipo de Processo (por exemplo, criminal, civil, administrativo).
Objetivo: Identificar se o tipo de processo tem impacto no tempo que um caso leva para ser concluído.

\[Tempo = \beta_0 + \beta_1 Processo + u\]

Previsão de Probabilidade de Recurso com Base em Decisões Anteriores:

Variável Dependente ($Y$): Probabilidade de Entrada com Recurso
Variável Independente ($X$): Resultado da Decisão Anterior (por exemplo, deferimento ou negação do recurso).
Objetivo: Determinar a probabilidade de um recurso ser apresentado com base no resultado de decisões passadas.

\[Recurso = \beta_0 + \beta_1 Resultado_{-1} + u \]

Análise de Relação entre Número de Testemunhas e Veredito:

Variável Dependente ($Y$): Veredito (por exemplo, culpado ou inocente)
Variável Independente ($X$): Número de Testemunhas.
Objetivo: Investigar se o número de testemunhas influencia a decisão.

\[ Veredito = \beta_0 + \beta_1 Testemunhas + u \]

8.2 Hipóteses sobre o comportamento do Termo de Erro

Se especificamos o modelo com $\beta_0$, podemos assumir que $u$, tem média igual a zero. Em notação de esperança matemática essa hipótese equivale a:

\[E(u) = 0\]

Podemos definir uma segunda hipotese sobre $u$. Uma hipótese forte, é a de que $u$ e $x$ são independentes. Tal hípótese é crucial do modelo de RLS:

\[E(u|x) = 0\]

Justas as hipóteses de $E(u) = 0$ e $E(u|x) = 0$ são denominadas de hipotese de média condicional zero.

Dessa forma, no nosso modelo inicial:

\[y = \beta_0 + \beta_1x + u\]

Aplicando o operador $E( \cdot |x )$, obtemos

\[ E( y |x ) = \beta_0 + \beta_1x \]

Assim, na equação acima, temos um aumento de uma unidade em $x$, implica em um aumento no valor esperado (ou em média) de $y$ na magnitude de $\beta_1$.

A equação acima, é caracterizada como função de regressão populacional. Essa função nos fornece a relação entre os diferentes níveis de $x$ é o nível médio de $y$, isto é $E( y |x )$.

Função de Regressão Populacional, fonte: Anderson David R., Sweeney Dennis J., Williams Thomas A. (2019), Statistics for Business & Economics, Cengage Learning; 14th edition

Agora, podemos voltar a nossa equação base e verificarmos o progresso feito no entendimento do modelo:

\[y = \beta_0 + \beta_1x + u \]

\[y = E( y |x ) + u \]

Na equação acima, $E( y |x )$ é chamada de parte sistemática de $y$. Isto é, a parte sistematicamente explicada por $x$. Já o termo de erro não observado, $u$ é a parte não sistemática de $y$, não explicada por $x$.

8.3 Estimação dos Parâmetros da RLS

Não conhecemos $\beta_0$ e $\beta_1$ queremos estimadores desses parametros: $\hat{\beta_0}$ e $\hat{\beta_1}$.

Suponha que tenhamos uma amostra aleatória da população: $\{(x_i, y_i): i = 1, ..., n\}$. Poderia ser uma amostra de crimes e taxa de desemprego por bairros.

Em nosso modelo base:

\[y_i = \beta_0 + \beta_1x_i + u_i \]

onde $u_i$ é o erro aleatório da $i$-ésima observação.

Como estimamos $\beta_0$ e $\beta_1$?

Após algum esforço algébrico, tem-se:

\[\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}\]

\[\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\]

Onde, $\bar{x}$ e $\bar{y}$ são as médias amostrais de $X_i$ e $Y_i$, respectivamente.

Os estimadores $\hat{\beta}_0$ e $\hat{\beta}_1$ são chamados de estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).

A ideia é que os parâmetros que estimamos, $\hat{\beta}_0$ e $\hat{\beta}_1$, são os parâmetros que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre nossos $y_i$ observados e seus valores preditos definidos como

\[y_i- \hat{y}_i =y_i - \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1x_i=u_i\]

Queremos minimizar o quadrado dessa diferença. Vejamos graficamente:

Antes de passarmos para o proxímo tópico de RLS, cabe mencionar uma nota sobre terminologia: quando estimamos equações de RLS do tipo $y = \beta_0 + \beta_1 x + u$, dizemos que “rodamos a regressão de $y$ sobre $x$ !”

8.3.1 Teste de Hipótese sob um Único Parametro

Agora precisamos testar se nossa estimativa é estatisticamente igual a zero ou se ela é diferente de zero.

Há evidências que a nossa variável $X$ afeta a nossa variável $Y$ na população?

Na maior parte do tempo testamos hipóteses do tipo

\[H_0: {\beta_j}=0\] Na hipótese principal testamos a situação que $X$ não afeta $Y$ na população sob análise. Na hipótese alternativa:

\[H_1: \beta_j \neq 0\]

Testamos a hipótese que $X$ afeta $Y$ nessa população. Graficamente temos a figura abaixo onde a média populacional é igual a 0:

Estatística de Teste:

Este é um valor calculado a partir dos dados da amostra que é usado para avaliar a probabilidade de observar tal valor se a hipótese nula fosse verdadeira ($H_0: {\beta_j}=0$). Ele que vai dizer se estamos na área amarela ou azul da figura acima.

8.3.1.1 Valor-p:

O valor-p é a probabilidade de observar uma estatística de teste tão extrema quanto, ou mais extrema do que, aquela calculada a partir dos dados da amostra, sob a suposição de que a hipótese nula seja verdadeira. Em outras palavras, mede quão provável é obter os resultados observados se a hipótese nula for correta.

Interpretação: Um valor-p pequeno (tipicamente menor que um nível de significância predefinido, comumente 0,05) sugere que os dados observados são improváveis de ter ocorrido se a hipótese nula fosse verdadeira. Portanto, fornece evidências contra a hipótese nula, e os pesquisadores podem rejeitar a hipótese nula em favor da hipótese alternativa. Por outro lado, um valor-p grande indica que os dados observados são consistentes com a hipótese nula, e as evidências evidências são insuficientes para rejeitá-la.

8.3.2 Aplicação - Estimando uma Regressão Linear Simples

Vamos utilizar aqui o nosso banco de dados anterior sobre feminicídio. É um banco com poucas obserações e possui fim didátco, apesar de serem dados reais.

Uma questão incial é entender quem será $Y$ e quem será $X$. Estamos querendo entender a taxa de feminicídio. A questão é, quais são seus determinantes? Aqui precisamos de alguma teoria…mas por hora, vamos ter como hipótese inicial que quanto maior a taxa de homícídio (ou maior a violência no estado) espera-se que em média a taxa de feminicídio aumente:

\[Feminc_{tx} = \beta_0 + \beta_1 Homici_{tx} + u\]

Apesar de parecer “muito complicado” na teoria, na prática o R estima uma RLS em segundos. A função para estimar é alm, ou linear model.

### Aplicação da RLS - Método dos Mínimos Quadrados Ordinários

#carregando o pacote para ler arquivos em excel
load("C:/Users/Alexandre_Nicolella/Aulas/FEA-RP/Jurimetria/jurimetria/final_fem_22.Rdata")

#Vamos chamar a partir de agora nosso banco de dados
dados<- final_fem_22 

##Função para rodar a regressão
modelo <- lm(data = dados, feminic_tx ~ homic_tx)


#Essa função resume a regressão, ja testar a hipótese sobre o coeficiente e da outras estatisticas que abordaremos a seguir.
summary(modelo)


Call:
lm(formula = feminic_tx ~ homic_tx, data = dados)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1.28942 -0.30169  0.03482  0.30070  1.18192 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  1.14673    0.28607   4.009 0.000485 ***
homic_tx     0.10580    0.05503   1.923 0.065990 .  
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.5882 on 25 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.1288,    Adjusted R-squared:  0.09397 
F-statistic: 3.697 on 1 and 25 DF,  p-value: 0.06599

8.3.2.1 Entendendo os Resultados

1. Resíduos (Residuals): apresenta a distribuição dos resíduos, observa-se que a mediana dos resíduos está próxima a zero.

2.Coeficientes Em seguida, abaixo tem-se Coefficients com 5 colunas.

Coluna 1: Nome da variável

Coluna 2: Coeficiente estimado $\hat{\beta_0}$ o intercepto e $\hat{\beta_1}$ do termo da variável homicídio

Coluna 3: É o desvio padrão da estimativas de $\beta$

Coluna 4: É a estatistica t utilizada para fazer o teste de hipótese e neste caso, tem-se: \[H_0:\beta_0=0\] \[H_1:\beta_0 \neq 0\] e \[H_0:\beta_1=0\] \[H_1:\beta_1 \neq 0\]

Coluna 5: É o p-valor, a probabilidade de encontrarmos valores mais extremos da estatística t. Os asteriscos indicam *** signicante a 0,1%; ** a 1%; * a 5%; e $.$ a 10%.

Interpretando o Coeficiente

O coeficiente do intercepto nos diz que quando a taxa de homicídio for 0, ainda existira uma taxa de feminicídio de 1,14 pontos ($\beta_0$), sendo significante a 0,1%. E cada 1 ponto de aumento na taxa de homicídio, aumenta em 0,106 ($\beta_1$) pontos a taxa de feminicídio, significante a 10%.

3. $R^2$: Em seguida temos o $R^2$ e $R^2$ ajustado. Essas estatísticas calculam quanto da variância da taxa de feminicídio pode ser explicada pela variância da taxa de homicídio. Quando estão próximos a 1 explicam muito, quanto estão próximos a 0 explicam pouco. No caso o nosso $R^2$ ficou baixo e portanto boa parte da variabilidade do feminicídio, não foi explicada pela taxa de homicídio.

4. Estaística F: E por fim a estatística F mostra o grau de ajustamento do modelo. Se ela for significativa diz que o modelo é bem ajustados aos dados. As variáveis explicativas incluídas são importantes para a explicação da taxa de feminicídio.Essa estatística testa a seguinte hipótese.

\[H_0:\beta_1=...=\beta_k=0\] contra

\[H_1: H_0\text{ é falsa}\]

VISUALMENTE

Abaixo tem-se os dados utilizados e a nossa reta de regressão estimada acima. Veja como ela se ajusta a nuvem de pontos.

# Ajustando a reta de regessão.
 plot(dados$homic_tx, dados$feminic_tx,
     main = "Taxa de Feminicídio vs.Tx de homicidio",
     xlab = "Taxa de Homicidio",
     ylab = "Taxa de Feminicídio",
     col = "steelblue",          # Cor dos pontos
     pch = 16,              # Forma dos pontos (círculos sólidos)
     cex = 1.0,         # Tamanho dos pontos
     abline(modelo, col = "lightsalmon3", lwd = 3))

8.4 Caracteristicas do Método dos Mínimos Quadrados Ordinários em Determinadas Amostras de Dados

8.4.1 Valores Estimados e Resíduos

Uma vez estimados $\hat{\beta}_0$ e $\hat{\beta}_1$ temos os valores ajustados ou também denominados de valores preditos ou fitted values.

Para uma observação qualquer $i$, seu valor estimado é:

\[\hat{y}_i= \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1x_i\]

Todos os valores $\hat{y}$ estarão sobre a reta de regressão.

O resíduo, tal qual definido anteriormente, será a diferença entre o valor ajustado $\hat{y}$ e o verdadeiro $y$ em nosso banco de dados:

\[\hat{u}_i = y_i - \hat{y}_i\]

Se $\hat{u_i} > 0$ a regressão subestima $y_i$. Se $\hat{u_i} < 0$ a reta superestima $y_i$. O cenário ideal é quando $\hat{u}_i= 0$, algo que quase nunca acontece.

##Obtendo os residuos da regressão
resid <- residuals(modelo)
 k <- density(resid)
  plot(k, xlab="Erro",main="Densidade de Kernel para o erro")
  polygon(k, col="burlywood3", border="burlywood4")

8.4.2 Propriedades Algébricas do MQO

A Soma dos Resíduos é zero:

\[\sum_{i=1}^{n} \hat{u}_i = 0\]

sum(resid)

[1] 1.387779e-16

A covariancia amostral entre a variavel explicativa e os resíduos é zero:

\[\sum_{i=1}^{n} x_i \hat{u}_i = 0\]

#obtendo a variável x
x <- dados$homic_tx

#somando com os residuos
sum(x*resid)

[1] 8.326673e-17

O ponto $(\bar{x},\bar{y})$ sempre estará sob a reta de regressão.
A média dos valores estimados, $\bar{\hat{y}}$ é igual a média dos valores observados $\bar{y}$.

#y dos dados 
y <- dados$feminic_tx
mean(y)

[1] 1.651852

#y estimado
y_hat <- fitted.values(modelo)
mean(y_hat)

[1] 1.651852

mean(y)==mean(y_hat)

[1] TRUE

Note que as estimatvas de MQO decompõe $y$ em 2 partes: 1) os valores ajustados $\hat{y}$ e os resíduos $\hat{u}$.
Os valores de $\hat{y}$ e $\hat{u}$ são não correlacionados na amostra!

8.4.3 Qualidade do Ajuste

Nesta seção vamos responder a seguinte questão: “Quão bem $x$ explica $y$ ?”

Considere as seguintes definições

Soma dos Quadrado Totais (SQT):

\[\text{SQT} = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2\]

# Calcular a média da variável dependente (feminic_tx)
media_feminic_tx <- mean(dados$feminic_tx)

# Calcular a Soma dos Quadrados Totais (SQT)
sqt <- sum((dados$feminic_tx - media_feminic_tx)^2)
sqt

[1] 9.927407

Soma dos Quadrados Explicados (SQE):

\[\text{SQE} = \sum_{i=1}^{n} (\hat{y}_i - \bar{y})^2\]

# Calcular a Soma dos Quadrados Explicados (SQE)
sqe <- sum((y_hat - media_feminic_tx)^2)
sqe

[1] 1.27879

Soma dos Quadrados dos Resíduos (SQR):

\[\text{SQR} = \sum_{i=1}^{n} \hat{u}_i^2\]

residuos_quadrados <- residuals(modelo)^2
sqr <- sum(residuos_quadrados)
sqr

[1] 8.648617

O resultado mais importante é o seguinte:

\[SQT = SQE + SQR\]

É apartir dessa iguadade que podemos mostrar algo sobre o ajuste dos MQO.

Dívidindo ambos os lados por $SQT$ teremos

\[1 = \frac{\text{SQE}}{\text{SQT}} + \frac{\text{SQR}}{\text{SQT}}\]

Rearranjando os termos

\[R^2 = \frac{\text{SQE}}{\text{SQT}} = 1 - \frac{\text{SQR}}{\text{SQT}}\]

#r-quadrado do modelo
r_quadrado <- 1 - (sqr/sqt)
r_quadrado

[1] 0.1288141

Novamente, o $R^2$ é a porcentagem da variação de y que é explicada por $x$. O valor de $R^2$ sempre estará na RLS entre $0$ e $1$.

8.5 Unidade de Medida e Forma Funcional

8.5.1 Unidade de Medida

Vejamos o efeito de mudanças na unidade de medida das variáveis na nossa regressão.

1. Se a variável dependente ($Y$) é multiplicada por uma constante $c$, então as estimativas do intercepto e da inclinação também serão multiplicadas por $c$. Vamos multiplicar por 10 e ver o que acontece:

library(dplyr)
dados <- dados |> 
  mutate(feminic_tx10 =feminic_tx*10 )

modelo1 <- lm(data = dados, feminic_tx10 ~ homic_tx)

summary(modelo)$coefficients

            Estimate Std. Error  t value     Pr(>|t|)
(Intercept) 1.146731 0.28607061 4.008560 0.0004846694
homic_tx    0.105805 0.05503129 1.922633 0.0659903845

summary(modelo1)$coefficients

            Estimate Std. Error  t value     Pr(>|t|)
(Intercept) 11.46731  2.8607061 4.008560 0.0004846694
homic_tx     1.05805  0.5503129 1.922633 0.0659903845

2. Se a variável explicativa ($X$) é multiplicada por uma contante $c$, então o coeficiente de inclinação será dívido por $c$. Nada acontece com o intercepto. Vamos multiplicar agora a taxa de homicídio por 10

dados <- dados |> 
  mutate(homic_tx10 =homic_tx*10 )

modelo2 <- lm(data = dados, feminic_tx ~ homic_tx10)

summary(modelo)$coefficients

            Estimate Std. Error  t value     Pr(>|t|)
(Intercept) 1.146731 0.28607061 4.008560 0.0004846694
homic_tx    0.105805 0.05503129 1.922633 0.0659903845

summary(modelo2)$coefficients

             Estimate  Std. Error  t value     Pr(>|t|)
(Intercept) 1.1467311 0.286070605 4.008560 0.0004846694
homic_tx10  0.0105805 0.005503129 1.922633 0.0659903845

Se a variável explicativa ($X$) é dividida por uma constante $c$, então o coeficiente de inclinação é multiplicado por $c$. Nada acontece com a constante.

dados <- dados |> 
  mutate(homic_tx_10 =homic_tx/10 )

modelo3 <- lm(data = dados, feminic_tx ~ homic_tx_10)

summary(modelo)$coefficients

            Estimate Std. Error  t value     Pr(>|t|)
(Intercept) 1.146731 0.28607061 4.008560 0.0004846694
homic_tx    0.105805 0.05503129 1.922633 0.0659903845

summary(modelo3)$coefficients

            Estimate Std. Error  t value     Pr(>|t|)
(Intercept) 1.146731  0.2860706 4.008560 0.0004846694
homic_tx_10 1.058050  0.5503129 1.922633 0.0659903845

Importante

O $R^2$ e os testes de hipótese não depende das unidades de nossas variáveis.

8.6 Incorporando não linearidades (nas variáveis!)

Vamos agora incorporar a não linearidade nas variáveis e ver como fica a sua interpretação. Abaixo tem-se uma tabela para interpretar os coeficientes e será explicada nos exemplos que virão a seguir.

Modelo	Dependente	Explicativa	Interpretação de $\beta_1$
Nivel-nível	$y$	$x$	$\beta_1 \Delta x$
Nível-Log	$y$	$ln(x)$	$(\beta_1/100)\%$ $\Delta x$
Log-Nível	$ln(y)$	$x$	$\% \Delta y = (100 \beta_1) \Delta x$
Log_log	$ln(y)$	$ln(x)$	$\% \Delta y = \beta_1\% \Delta x$

8.6.1 Modelo Nível-Nível

Esse é o modelo que fizemos anteriormente e nos diz que uma variação absoluta em $X$ terá um efeito de $\beta$ em Y.

modelo_nn<- lm(data=dados, dados$feminic_tx ~ dados$homic_tx)
summary(modelo_nn)$coefficients

               Estimate Std. Error  t value     Pr(>|t|)
(Intercept)    1.146731 0.28607061 4.008560 0.0004846694
dados$homic_tx 0.105805 0.05503129 1.922633 0.0659903845

O aumento de uma unidade na taxa de homicídio aumenta em 0,1058 a taxa de feminicídio.

8.6.2 Modelo Nível-log

Primeiramente vamos criar as variáveis em ln:

dados$Lnfeminic_tx <- log(dados$feminic_tx)
dados$Lnhomic_tx <- log(dados$homic_tx)

O modelo Nível-Log considerá $Y$ no nível e $X$ no log. As variações relativas de $X$ implicam em variações absolutas constantes em $Y$.

modelo_nl<- lm(data=dados, dados$feminic_tx ~ dados$Lnhomic_tx)
summary(modelo_nl)$coefficients

                  Estimate Std. Error  t value   Pr(>|t|)
(Intercept)      0.7246404  0.4453288 1.627203 0.11623380
dados$Lnhomic_tx 0.6238311  0.2900917 2.150462 0.04138118

A variação relativa de 1% na taxa de homicídio ($X$), aumenta a taxa de feminicídio em 0,00623 $(\beta_1/100)$

8.6.3 Modelo Log-Nível

Nesse modelo $Y$ está em log e $X$ em nível. Variações absolutas em $X$ implicam em variações exponenciais de $Y$.

modelo_ln<- lm(data=dados, dados$Lnfeminic_tx~ dados$homic_tx)
summary(modelo_ln)$coefficients

                 Estimate Std. Error  t value  Pr(>|t|)
(Intercept)    0.21824231 0.18282873 1.193698 0.2438007
dados$homic_tx 0.04525001 0.03517069 1.286583 0.2100267

Para cada incremento adicional da taxa de homicídio, tem-se um incremento de 4,5% na taxa de feminicídio $\% \Delta y = (100 \beta_1) \Delta x$.

modelo_ll <- lm(data=dados, dados$Lnfeminic_tx~ dados$Lnhomic_tx) summary(modelo_ll)$coefficients

8.6.4 Modelo Log-Log

Nesse modelo tanto $X$ como $Y$ estão em log. Variações relativas em $X$ implicam em variações relativas em $Y$

modelo_ll <- lm(data=dados, dados$Lnfeminic_tx~ dados$Lnhomic_tx)
summary(modelo_ll)$coefficients

                     Estimate Std. Error     t value  Pr(>|t|)
(Intercept)      0.0009590929   0.284865 0.003366832 0.9973404
dados$Lnhomic_tx 0.2915325798   0.185564 1.571062163 0.1287399

Um aumento de 1% na taxa de homicídios aumenta em 0,29% a taxa de feminicídio nos estados brasileiros.

8.7 Regressão Linear Múltipla (RLM)

A RLM é uma extensão natural da RLS. Entretanto, ao invés de termos apenas uma variável explicativa podemos ter $k$ variáveis dependentes

\[y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_3 x_3 + \ldots + \beta_k x_k + u\] A hípótese fundamental é a de que:

\[E(u|x_1, . . . ,x_k) = 0\]

Problemas que façam com que um dos $x_1, ...., x_k$ ser correlacionado com $u$, invalida a hipótese acima. Tal hipótese implica em não viés do MQO.

8.7.1 Exemplos de Regressão Multipla no Contexto Jurídico

Determinação de Fatores que Afetam o Valor de Indenizações:

Variável Dependente ($Y$): Valor da Indenização.
Variáveis Independentes ($X$): Idade da Vítima, Gravidade do Dano, Jurisdição.
Objetivo: Analisar como a idade da vítima, a gravidade do dano e a jurisdição influenciam o valor das indenizações concedidas

\[Indenização = \beta_0 + \beta_1 idade+ \beta_2 Gravidade + \beta_2 Jurisdisção + u\]

Análise de Variáveis que Influenciam Taxas de Condenação em Casos Criminais:

Variável Dependente ($Y$): Taxa de Condenação.
Variáveis Independentes($X$): Idade do Réu, Tipo de Crime, Local do Julgamento.
Objetivo: Investigar como a idade do réu, o tipo de crime e o local do julgamento afetam a probabilidade de condenação.

\[Tx.Condenação = \beta_0 + \beta_1 idade + \beta_2 Local + \beta_3 crime + u\]

Análise de Fatores que Influenciam a Taxa de Feminicídio:

Variável Dependente ($Y$): Taxa de Feminicídio por 100.000 mulheres
Variáveis Independentes ($X$): Taxa de Desemprego, Índice de Educação, Presença de Políticas de Proteção à Mulher.
Objetivo: Investigar como o desemprego, o nível de educação e a existência de políticas de proteção à mulher estão relacionados à taxa de feminicídio em diferentes regiões.

\[Tx.feminicidio = \beta_0 + \beta_1 desemprego + \beta_2 educ + \beta_3 política + u \]

8.7.2 A Interpretação da Equação de Regressão de MQO

Tal qual no modelo de RLS, temos que:

\[\Delta y = \beta_1 \Delta x_1 + \beta_2 \Delta x_2 + ...+\beta_k \Delta x_k\]

O coeficiente $\beta_j$, com $j=1,...k$, mede o efeito do incremento de uma unidade de $x_j$ em $y$. Isso continua com a mesma interpretação para modelos que usam o log.

Suponha que estejamos interessados no efeito de $x_1$. Podemos fazer o seguinte exercício: Tudo o mais constante qual o efeito de $x_1$ em $y$:

\[\frac{\Delta y}{\Delta x} = \beta_1 \]

Manter outros fatores fixos permite o cientista social, “mimetizar” um experimento, o qual é muito utilizado nas Ciências Naturais. Obviamente, isso não é tão simples assim. Entretanto, manter outros fatores fixos, e supondo que \[E(u|x_1, . . . ,x_k) = 0\] , nos aproxíma de afirmações de cunho causal.

8.8 Estimação dos k parametros na RLM

8.8.1 Estimadores de MQO

A mecânica para conseguirmos estimativas de $\beta_j$, fica uma pouco mais complicada. Felizmente, os softwares, tais como o R, fornecem essas estimativas com muita facilidade. Não obstante, convêm apresentar uma abordagem para o cálculo desses parâmetros. Utilizaremos álgebra de matrizes para mostrar um “algoritmo” para calcular esses $\beta_j$. Em verdade, esse é o algoritmo utilizado pela função lm() do R no computo dos estimadores.

Considere o modelo para a $i$-ésima observação

\[y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \beta_{2} x_{i2} + \beta_{3} x_{i3} + \ldots + \beta_k x_{ik} + u\]

como temos $n$ observações (tamanho de nossa amostra), podemos organizar esses valores em vetores e matrizes.

Assim, representamos o modelo de RLM da seguinte maneira:

\[\mathbf{Y} = \mathbf{X} \boldsymbol{\beta} + \mathbf{u}\]

Queremos encontrar um estimador de $\boldsymbol{\beta}$, que chamaremos de $\boldsymbol{\hat{\beta}}$. Esse estimador sera dado por:

\[\hat{\boldsymbol{\beta}} = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T \mathbf{y}\]

Onde $\mathbf{X}^T$ é a matriz transposta de $\mathbf{X}$, e $(\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1}$ é a matriz inversa da seguinte multiplicação de matrizes, $(\mathbf{X}^T \mathbf{X})$

Esse vetor de estimativas irá nos fornecer os valores para os $\beta_j$, com $j=1,...,k$.

8.8.2 Estimativas de MQO

Vamos analisar o efeito da taxa de homicídio e da renda per capita sobre a taxa de feminicídio. Ou seja:

\[Feminic_i = \beta_0 + \beta_1 Homic_{i} + \beta_{2} Rendapc_i + u\]

### Estimando uma regressão Linear Multipla

rlm <- lm(data = dados, feminic_tx ~ homic_tx + rendapc)

summary(rlm)


Call:
lm(formula = feminic_tx ~ homic_tx + rendapc, data = dados)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1.32561 -0.31655 -0.00645  0.31188  1.11840 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
(Intercept) 0.8852186  0.5368738   1.649    0.112  
homic_tx    0.1167346  0.0588882   1.982    0.059 .
rendapc     0.0001447  0.0002499   0.579    0.568  
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.5962 on 24 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.1408,    Adjusted R-squared:  0.06921 
F-statistic: 1.967 on 2 and 24 DF,  p-value: 0.1618

A leitura dos resultados é análoga ao que já fizemos anteriormente. O aumento de uma unidade na taxa de homicídio aumenta em 0,11 a taxa de feminicídio e é significante a 10%. Veja o p-valor de 0.059. Entretanto, não há evidências de que a renda pc tem efeito sobre a taxa de feminicídio.

Assim, estados mais violentos tendem a ter mais feminicídios. Entretanto, estados mais pobres e mais ricos possuem taxas similares de feminicídio.

8.8.3 Qualidade do Ajuste na Regressão Linear Multipla

Um fato importante sobre $R^2$ é que ele nunca diminui ao incluirmos variáveis no modelo. Isso decorre de propriedades algébricas desse indicador. Em nosso exemplo:

Modelo somente com Homicídio: $R^2=0,12$
Modelo com Homicídio e Renda: $R^2=0,14$

Veja que o $R^2$ aumentou ao incluir a renda pc.

Por isso, os softwares geralmente reportam uma outra estatística de ajuste o R-quadrado ajustado, $\bar{R}^2$:

\[\bar{R}^2 = 1 - \frac{(1 - R^2)(n - 1)}{n - k - 1}\]

O $\bar{R}^2$, tal como expresso acima conta com a presença do $R^2$ original, mas note que, no denominador estamos dividindo por $n-k-1$, onde $n$ é o tamanho da amostra em mãos, e $k-1$ se referem ao fato de termos $k$ variáveis explicativas e uma constante. Portanto, o $\bar{R}^2$, impões uma penalidade à inclusão de variáveis independentes em um modelo de regressão. No nosso modelo:

Modelo somente com Homicídio: $R^2=0,12$ e $\bar{R}^2= 0,094$
Modelo com Homicídio e Renda: $R^2=0,14$ e $\bar{R}^2= 0,069$

Podemos notar que a inclusão da renda pc contribui muito pouco para a explicação do modelo mas prejudicou as estimativas (menor grau de liberdade). Dessa forma observa-se que o $R^2_{ajust}$ ou $\bar{R}^2$ ficou menor.

Não obstante, cabe destacar que um $R^2$ baixo não é uma evidencia definitiva contra nosso modelo. Em ciências sociais é comum verificarmos $R^2$ relatvamente pequenos. Isso significa que, embora coletivamente as variáveis explicativas não expliquem muito das variações de $Y$, é possível que as estimativas de MQO sejam efeitos parciais confiáveis- tudo o mais constante - de cada $X_j$ sobre $Y$.

8.8.4 Uso de Variáveis Qualitativas na Análise de RLM

O uso de variáveis binárias é a alternativa para utilizarmos variáveis qualitativas (discretas ou categóricas) no modelo de regressão. Dessa forma, variáveis que possuem categorias (homem/mulher; regiões, típo de homicídio). Considere os exemplos mencionados anteriormente.

Determinação de Fatores que Afetam o Valor de Indenizações:

Variável Dependente $(Y)$: Valor da Indenização.
Variáveis Independentes $(X)$: Idade da Vítima, Gravidade do Dano, Jurisdição.
Objetivo: Analisar como a idade da vítima, a gravidade do dano e a jurisdição influenciam o valor das indenizações concedidas

\[Indenização = \beta_0 + \beta_1 idade+ \beta_2 Gravidade + \beta_2 Jurisdisção + u\]

Análise de Variáveis que Influenciam Taxas de Condenação em Casos Criminais:

Variável Dependente $(Y)$: Taxa de Condenação.
Variáveis Independentes $(X)$: Idade do Réu, Tipo de Crime, Local do Julgamento.
Objetivo: Investigar como a idade do réu, o tipo de crime e o local do julgamento afetam a probabilidade de condenação.

\[Tx.Condenação = \beta_0 + \beta_1 idade + \beta_2 Local + \beta_3 crime + u\]

Análise de Fatores que Influenciam a Taxa de Feminicídio:

Variável Dependente $(Y)$: Taxa de Feminicídio por 100.000 mulheres.
Variáveis Independentes $(X)$: Taxa de Desemprego, Índice de Educação, Presença de Políticas de Proteção à Mulher.
Objetivo: Investigar como o desemprego, o nível de educação e a existência de políticas de proteção à mulher estão relacionados à taxa de feminicídio em diferentes regiões.

\[Tx.feminicidio = \beta_0 + \beta_1 desemprego + \beta_2 educ + \beta_3 política + u \]

Em todos esses exemplos temos o que denominamos de variáveis qualitativas. No primeiro exemplo, gravidade e jurisdição não são quantificaveis. No segundo exemplo, o tipo de crime, e a localidade. Por fim, no último exemplo, a variável que indica ou não a presença de uma política pública de proteção a mulher também é qualitativa.

Felizmente, isso não traz problemas adcionais a estimação de MQO. Pelo menos quando tais variáveis aparecem como variáveis explicativas. Mais a frente veremos o que acontece quando a variável dependente é do tipo qualitativa.

Duas coisas mudam quando temos as variáveis qualitativas como regressores:

Em primeiro lugar temos que organizar essas informações no banco de dados de modo coerente.
Em segundo lugar, a introdução de variáveis qualitativas muda a interpretação dos resultados.

Fatores qualitativos geralmente aparecem na forma de informações binárias, também denominadas,dummy.

Variável Binária ou Dummy:

É uma variável que assume o valor 1 se a “condição occorre” e 0 caso o contrário.

Exemplos:

O crime de feminicídio ocorreu na região central? * Variável Binária: crime_centro (exemplo de nome) * se sim, ela recebe o valor 1, * se não ocorreu a variável recebe o valor 0.

Nesse caso teremos uma coluna em nosso banco de dados denominada crime_centro, na qual a linha recebe o valor 1 caso o crime tenha ocorrido no centro e 0 caso o contrário.

O crime foi considerado grave?

Variável Binária: cri_grav (exemplo de nome)
Se sim, recebe o valor 1,
caso contráriorecebe o valor 0.

Outras binárias….

1 se mulher e 0 se for homem.
1 se for autodeclarado não-branco e 0 se for branco
1 se trabalha e 0 se não trabalha
1 se feminicídio e 0 se não for feminicídio.

Utilizar 1 ou 0 é, de fato, um criterio arbitrário, mas essa escolha reside justamente na vantagem de se capturar informações importantes que tornam a interpretação dos resultados mais simples.

As observações que receberam 1 como valor serão comparadas com aquelas observações que ficaram com o valor 0. Essas observações seriam nosso “grupo de comparação/grupo base”.

8.8.4.1 Uma única Variável Dummy Independente

A forma mais simples de incorporar uma variável qualitativa e simplismente adicionarmos a variável binária na equação de regressão.

Considere o exemplo prático retirado do livro do Wooldridge. Queremos entender os determinantes dos salários. Obviamente, o exemplo é bastante simples, mas será útil para avaliarmos a questão.

\[salario_h = \beta_0 + \delta_0 feminino + \beta_1 educ + \beta_3 exper + \beta_4perm + u \] Nesse exemplo, estamos tentando entender os quais os fatores que afetam os salários dos indivíduos. O salário pode ser explicado pela educação, experência, tempo no cargo e pelo fato de ser mulher. A variável feminino assume o valor 1, se o individuo for do sexo feminino e 0, caso o contrário. Na equação $\delta_0$ mede a diferença no salário entre homems e mulheres, dado os mesmos anos de estudos, experiência e tempo no cargo, e evidentemente o mesmo $u$.

if(!require(wooldridge)){
    install.packages("wooldridge")
    library(wooldridge)}

data(wage1, package= "wooldridge")

wage_f<-lm(wage ~ female+educ+exper+tenure, data=wage1)
summary(wage_f)


Call:
lm(formula = wage ~ female + educ + exper + tenure, data = wage1)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-7.7675 -1.8080 -0.4229  1.0467 14.0075 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -1.56794    0.72455  -2.164   0.0309 *  
female      -1.81085    0.26483  -6.838 2.26e-11 ***
educ         0.57150    0.04934  11.584  < 2e-16 ***
exper        0.02540    0.01157   2.195   0.0286 *  
tenure       0.14101    0.02116   6.663 6.83e-11 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 2.958 on 521 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.3635,    Adjusted R-squared:  0.3587 
F-statistic:  74.4 on 4 and 521 DF,  p-value: < 2.2e-16

O coeficiente estimado para a binária que identifica mulheres foi de -1,81 e significativa a 1%. Isso indica que em média, uma mulher ganha menos US$ 1,81 por hora do que um homem com a mesma educação, experiência e tempo no cargo.

Veja a figura abaixo ela mostra o efeito da binária feminina. Note que para um mesmo nível de escolaridade, o salário do homem é maior do que o salário da mulher. A dummy “desloca” o intercepto.

Variáveis binárias graficamente, fonte: SEmantic Scholar

Podemos utilizar a binária para ver o efeito da experiência para homens e para mulheres. Podemos fazer isso criando uma variável que é a multiplicação entre experiência e feminino. Vejamos:

wage1$exp_f<-wage1$exper*wage1$female


wage_f_2<-lm(wage ~ educ+female+ exper+exp_f+tenure, data=wage1)
summary(wage_f_2)


Call:
lm(formula = wage ~ educ + female + exper + exp_f + tenure, data = wage1)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-8.3215 -1.6447 -0.4678  1.0431 13.8889 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -2.27347    0.75952  -2.993 0.002891 ** 
educ         0.58954    0.04938  11.938  < 2e-16 ***
female      -0.87766    0.41570  -2.111 0.035223 *  
exper        0.05720    0.01589   3.601 0.000348 ***
exp_f       -0.05635    0.01944  -2.898 0.003908 ** 
tenure       0.12810    0.02148   5.964 4.56e-09 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 2.937 on 520 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.3737,    Adjusted R-squared:  0.3676 
F-statistic: 62.04 on 5 and 520 DF,  p-value: < 2.2e-16

mean(wage1$wage)

[1] 5.896103

Nesse novo modelo temos agora a binária de mulher, female, que mostra que o fato de ser mulher diminui o salário em -US$0,88. Veja que a média de salário é de US$ 5,9. A queda representa 15% a menos em relação ao homem.

Com relação a multiplicação pela experiência, podemos assim analisar. Como a variável é 0 para homem, o efeito da experiência para os homens é o próprio coeficiente, exper. Para cada ano a mais de experiência o salário do homem aumenta em US$ 0,057. Para as mulheres é a soma do coeficiente, exper + exp_f. Para cada ao a mais da experência da mulher o mercado paga US$0,001 . Isso está representado no gráfico abaixo.

Variáveis binárias multiplicativas graficamente, fonte: University of Washington

8.8.5 O uso de Dummies para categorias multiplas e Interação entre a dummy e a variável dependente

Considere a equação abaixo considerando o mesmo banco de dados anterior:

\[log(salarioh) = \beta_0 + \beta_1 hsolteiro + \beta_2 mcasadas + \beta_3 msolteiras + \beta_4educ + \beta_5exper + \beta_6exper^2 + u\] Agora vamos dividir entre homens e mulheres, casadas(os) solteiras(os). Note que definimos uma dummy para cada grupo e o grupo de comparação utilizaremos o grupo de homens casados.

As estimativas das dummies acima irão captar para cada grupo a diferença proporcional nos salarios-horas relativamente aos homens casados.

###Aplicação de RLM multiplas dummies

data(wage1, package="wooldridge")


### criando as variáveis
library("dplyr")

wage1 <- wage1 %>%
  mutate(hcasado = ifelse(female==0 & married==1, 1, 0))

wage1 <- wage1 %>%
  mutate(mcasada = ifelse(female==1 & married==1, 1, 0))

wage1 <- wage1 %>%
  mutate(msolteira = ifelse(female==1 & married==0, 1, 0))

wage1 <- wage1 %>%
  mutate(hsolteiro = ifelse(female==0 & married==0, 1, 0))


status_civ <- lm(log(wage)~  hsolteiro + msolteira + mcasada + educ+ exper  +I(exper^2)+tenure, data=wage1)

summary(status_civ)


Call:
lm(formula = log(wage) ~ hsolteiro + msolteira + mcasada + educ + 
    exper + I(exper^2) + tenure, data = wage1)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1.89832 -0.24486 -0.03093  0.23483  1.11291 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  0.5370094  0.1070982   5.014 7.33e-07 ***
hsolteiro   -0.2196913  0.0555033  -3.958 8.61e-05 ***
msolteira   -0.3266998  0.0502974  -6.495 1.95e-10 ***
mcasada     -0.4146530  0.0459328  -9.027  < 2e-16 ***
educ         0.0795322  0.0067169  11.841  < 2e-16 ***
exper        0.0297116  0.0051097   5.815 1.06e-08 ***
I(exper^2)  -0.0005919  0.0001081  -5.475 6.84e-08 ***
tenure       0.0149328  0.0028460   5.247 2.26e-07 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.3949 on 518 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.4553,    Adjusted R-squared:  0.448 
F-statistic: 61.86 on 7 and 518 DF,  p-value: < 2.2e-16

Como temos um modelos log-nível, a interpretação é dada por $\% \Delta y = (100 \beta_1) \Delta x$. Com base nas estimativas, verificamos que com relação aos homens casados:

Homens solteiros recebem cerca de 22% a menos.
Mulheres solteiras recebem 32,6% a menos.
Mulheres casadas recebem 41,5% a menos.

Mantendo fixas educaçao, experiência e tempo no emprego.

Variáveis ao Quadrado: interpretando

Note que temos uma nova variável, a experência, ao quadrado. A variável ao quadrado tenta capturar a seguinte ideia: se cada ano a mais de experiência sempre gera o mesmo incremento de salário, ou se recebe cada vez menos por cada ano a mais de experiência. Temos agora uma mudança de interpretação

\[\frac{\% \Delta y }{\Delta x}= 100\beta_5 +200\beta_6exper \]

Com base nas estimatvas:

\[\frac{\% \Delta y }{\Delta x}= 100\times0,0297 +200\times -0,000592 \times exper\]

\[\frac{\% \Delta y }{\Delta x}= 2,97 -0,118 \times exper \] Vamos pensar em uma pessoa que tem 0 anos de experiência e adquire um ano. Logo:

\[\frac{\% \Delta y }{1}= 2,97 -0,118 \times 1 = 2,85\% \] Ela ira receber 2,85% a mais de salário devido a essa experiência adquirida. Vejamos agora uma pessoa com 9 anos e adquire mais um ano, vai para 10. Logo

\[\frac{\% \Delta y }{1}= 2,97 -0,118 \times 10 = 1,79\% \] Esse ano a mais agora adicionou apenas 1,79% no seu salário. Para finalizar vejamos de 24 para 25 anos de experiência

\[\frac{\% \Delta y }{1}= 2,97 -0,118 \times 25 = 0,02\% \] Adiciona praticamente zero. E a partir desse ponto a adição será negativa, mais experiência terá menor salário. Assim o ponto de mudança será:

\[ 2,97 -0,118 \times exper = 0 \implies exper=\frac{2,97}{0,118}=25,16 \] O salário vai aumentando até chegar a experiência de 25 anos, depois desse ponto o mercado tende a penalizar com salários menores quem tem mais experiência.

8.8.6 Incorporando Informações Ordinais com o uso de Variáveis Dummy.

Vamos agora entender a criação de binárias para variáveis com várias categorias. Um exemplo clássico de variável com diversas categorias é a região onde mora o indivíduo. Podemos ver isso no nosso banco anterior chamado dados:

table(dados$regiao)


CO  N NE  S SD 
 4  7  9  3  4

Temos que escolher uma região de comparação, por exemplo Sudeste. Assim, pode-se criar uma binária para o CO, uma para o N, uma para o NE e uma para o S. Veja o exemplo abaixo.

### criando as variáveis
library("dplyr")

dados <- dados %>%
  mutate(CO = ifelse(regiao=="CO", 1, 0))

dados <- dados %>%
  mutate(NE = ifelse(regiao=="NE", 1, 0))

dados <- dados %>%
  mutate(N = ifelse(regiao=="N", 1, 0))

dados <- dados %>%
  mutate(S = ifelse(regiao=="S", 1, 0))

Como esse banco é muito pequeno, vamos retomar o banco o Wooldridge wage1. Neste banco já está criada a variável de região sendo a região leste a de comparação. Vamos adicionar na regressão as regiões, sul, centro-norte e oeste.

reg_salar <- lm(log(wage)~  northcen + west+ south + female+ educ+ exper +tenure, data=wage1)

summary(reg_salar)


Call:
lm(formula = log(wage) ~ northcen + west + south + female + educ + 
    exper + tenure, data = wage1)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-2.01490 -0.25600 -0.02259  0.25361  1.30569 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  0.534853   0.108019   4.951 9.98e-07 ***
northcen    -0.064811   0.052512  -1.234  0.21768    
west         0.078528   0.058211   1.349  0.17792    
south       -0.061050   0.049041  -1.245  0.21374    
female      -0.306808   0.037148  -8.259 1.23e-15 ***
educ         0.086823   0.006943  12.504  < 2e-16 ***
exper        0.004808   0.001622   2.963  0.00318 ** 
tenure       0.017148   0.002968   5.777 1.31e-08 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.4137 on 518 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.4022,    Adjusted R-squared:  0.3941 
F-statistic: 49.79 on 7 and 518 DF,  p-value: < 2.2e-16

Observa-se no modelo acima que não há diferenças regionais importantes nos salários, quando controlamos para mulheres, educação, experiência e tempo no trabalho.

Modelo	Dependente	Explicativa	Interpretação de \(\beta_1\)
Nivel-nível	\(y\)	\(x\)	\(\beta_1 \Delta x\)
Nível-Log	\(y\)	\(ln(x)\)	\((\beta_1/100)\%\) \(\Delta x\)
Log-Nível	\(ln(y)\)	\(x\)	\(\% \Delta y = (100 \beta_1) \Delta x\)
Log_log	\(ln(y)\)	\(ln(x)\)	\(\% \Delta y = \beta_1\% \Delta x\)