6  Análise Descritiva

Tirando Informação dos Dados

Author

Alexandre Nicolella

Published

March 12, 2024

6.1 Cadeia de Valor do Conhecimento

A construção do conhecimento é um caminho longo e complexo. A cadeia de valor do conhecimento é um modelo que busca representar esse caminho. Vejamos a Figura abaixo:

Ermine, J.L (2013): Cadeia de Valor do Conhecimento

Para cumprir esse longo percurso a Ciência de Dados tem um papel fundamental na atualidade.

A Ciência de Dados é uma área interdisciplinar que combina conhecimentos de estatística, matemática, computação, e no nosso caso do Direito, para extrair conhecimento a partir de dados.

Estratégia Interdisciplinas

A Ciência de Dados é um processo que envolve diversas etapas, como a coleta de dados, a organização dos dados, a análise dos dados, a interpretação dos resultados, entre outras. Vejamos a figura sobre ciclo de vida da ciência de dados:

Ciclo de Vida da Ciência de Dados

O ciclo de vida da ciência de dados é um modelo que descreve as etapas envolvidas no processo de análise de dados. Esse modelo é composto por cinco etapas principais:

  1. Coleta de Dados: Busca de informações que possam ser úteis para responder a uma pergunta de pesquisa. Esses dados podem ser coletados de diversas fontes, como pesquisas de campo, bases de dados, entrevistas, entre outros.

  2. Limpar e Organização: Pesquisador organiza os dados coletados de forma a facilitar a análise. Isso pode envolver a criação de tabelas, limpeza, estruturação, entre outros aspectos.

  3. Análise Descritiva: Busca descrever os dados coletados de forma a identificar padrões, tendências, relações entre variáveis, entre outros aspectos. Isso pode envolver a utilização de estatísticas descritivas, gráficos, mapas, entre outros recursos.

  4. Análise Exploratória: Explorar os dados coletados de forma a identificar padrões, tendências, relações entre variáveis, entre outros aspectos. Isso pode envolver a utilização de técnicas estatísticas mais avançadas, como regressão, análise de cluster, análise fatorial, entre outras.

  5. Interpretação dos Resultados: Interpretar os resultados obtidos na análise descritiva e exploratória de forma a responder à pergunta de pesquisa. Isso pode envolver a elaboração de conclusões, recomendações, entre outros aspectos.

6.2 Estatísticas Descritivas: Medidas Numéricas a partir da amostra

A análise descritiva é uma etapa fundamental no processo de análise de dados. Ela consiste em descrever os dados coletados de forma a identificar padrões, tendências, relações entre variáveis, entre outros aspectos.

Vamos entender 3 padrões importantes nessa etapa:

  1. Medidas de Posição: São medidas que indicam a posição de um valor em relação aos demais valores de um conjunto de dados.

  2. Medidas de Variabilidade: São medidas que indicam o grau de dispersão dos valores de um conjunto de dados.

  3. Medidas de Associação: São medidas que indicam a relação entre duas ou mais variáveis de um conjunto de dados.

Vamos entender os resultados dessas medidas para dois conjuntos distintos de variáveis:

  1. Variáveis Discretas: São variáveis que podem assumir um número finito de valores. Por exemplo, o número de filhos de uma pessoa, o número de processos em uma Vara, procedente ou improcedente.

  2. Variáveis Contínuas: São variáveis que podem assumir um número infinito de valores. Por exemplo, a renda per capita, a taxa de feminicídio, tempo do processo, dosimetria da pena.

CASO DE ESTUDO:

Vamos tentar entender essas medidas a partir de um banco de dados real e pequeno. Será utilizado um banco de dados extraído do Anuário da Segurança Pública (2023), com informações sobre a taxa de feminicídio, a taxa de tentativa de feminicídio, a taxa de homicídio de mulheres, a renda per capita, entre outras variáveis.

As medidas numéricas que veremos para as três padrões a serem observados são:

MEDIDAS DE POSIÇÃO:

  • Média,
  • Mediana,
  • Moda,
  • Percentis,
  • Quartis.

MEDIDAS DE VARIABILIDADE:

  • Amplitude,
  • Amplitude interquartil,
  • Variância,
  • Desvio Padrão e
  • Coeficiente de Variação.

MEDIDAS DE ASSOCIAÇÃO:

  • Covariancia e
  • Coeficiente de Correlção.

Vamos apresentar as fórmulas de algumas dessas principais medidas.Primeiramente vams importantaro nosso banco de dados:

final_fem_22 <- read.csv("C:/Users/Alexandre_Nicolella/Aulas/FEA-RP/Jurimetria/jurimetria/final_fem_22.csv", head=T ,sep=";")

ou

install.packages("remotes") # baixar o pacote devtools
remotes::install_github("jjesusfilho/cursoESMP") # baixar o pacote deste curso
library(cursoESMP) # carregar o pacote deste curso
final_fem_22<-cursoESMP::final_fem_22

Visualizando as primeiras 10 linhas do banco de dados:

library(kableExtra)

final_fem_22 |> 
  head(10) |> 
  kbl(digits = 2,  ) %>%
     kable_styling()
sigla estados regiao homic_abs homic_tx feminic_abs feminic_tx part_feminic rendapc mais_50 t_homic_abs t_homic_tx t_feminic_abs t_feminic_tx part_t_feminic
AC Acre N 22 5.3 11 2.6 50.0 1038 1 388 93.4 16 3.9 3.96
AL Alagoas NE 73 4.5 31 1.9 42.5 935 0 160 9.8 54 3.3 25.23
AM Amazonas N 88 4.5 21 1.1 23.9 965 0 83 4.2 45 2.3 35.16
AP Amapa N 22 6.0 8 2.2 36.4 1177 0 95 25.9 44 12.0 31.65
BA Bahia NE 406 5.6 107 1.5 26.4 1010 0 582 8.0 174 2.4 23.02
CE Ceara NE 264 5.8 28 0.6 10.6 1050 0 324 7.2 102 2.3 23.94
DF Distrito Federal CO 32 2.2 19 1.3 59.4 2913 1 208 14.2 88 6.0 29.73
ES Espirito Santo SD 95 4.9 33 1.7 34.7 1723 0 450 23.1 70 3.6 13.46
GO Goias CO 137 3.8 56 1.6 40.9 1619 0 364 10.2 168 4.7 31.58
MA Maranhao NE 127 3.7 69 2.0 54.3 814 1 264 7.7 106 3.1 28.65

  1. homic_abs: Número absoluto de homicídios feminínos registrados em 2022.

  2. homic_tx: Taxa de homicídios feminino 100 mil mulheres.

  3. feminic_abs: Número absoluto de feminicídios registrados em 2022.

  4. feminic_tx: Taxa de feminicídios por 100 mil mulheres.

  5. part_feminic: Participação percentual dos feminicídios no total de homicídios femininos.

  6. rendapc: Renda per capita do Estado.

  7. mais_50: Proporção de feminicídios acima de 50%.

  8. t_homic_abs: Número absoluto da tentativa de homicídios femininos

  9. t_homic_tx: Taxa de tentativa de homicídios para 100 mil mulheres.

  10. t_feminic_abs: Número absoluto de tentativa de feminicídios.

  11. t_feminic_tx: Taxa de tentativa de feminicídios por 100 mil mulheres.

  12. part_t_feminic: Participação percentual da tentativa de feminicídios em relação ao total de tentativas de homicídios femininos.

6.2.1 Gráficos no R

O ggplot2 é um pacote do R utilizado para criar gráficos estatísticos de forma poderosa e flexível. Apesar de parecer complexo, é fácil de aprender, pois possui princípios básicos simples e poucos casos excepcionais.O ggplot2 é projetado para ser utilizado iterativamente: você começa com os dados brutos e adiciona camadas de anotações ou resumos estatísticos.

A GRAMÁTICA DOS GRÁFICOS

O ggplot2 é um pacote do R que implementa a Grammar of Graphics (Wilkinson, 2005), uma abordagem para criar gráficos estatísticos. Ele organiza os gráficos em componentes fundamentais, permitindo flexibilidade e personalização.

Um gráfico no ggplot2 é construído combinando os seguintes elementos:

  1. Dados: A base de dados a ser visualizada.
  2. Mapeamentos estéticos(aes): Define como variáveis são associadas a atributos visuais (cor, forma, tamanho).
  3. Camadas (layers): Compostas por:
    • Geoms: Elementos visuais - tipos de gráficos (pontos, linhas, barras).
    • Stats: Transformações estatísticas ou ajustar modelos.
    • Escalas (scales): Determina as esclaas de x e y (eixos, legendas, cores).
  4. Sistemas de coordenadas (coord): Define como os dados são posicionados no gráfico (ex.: cartesiano ou polar).
  5. Facetamento (facet): Divide os dados em subconjuntos para gerar gráficos separados.
  6. Tema (theme): Personaliza detalhes visuais, como fontes e cores de fundo.

Clique abaixo para ver alguns tipos de gráficos que podem ser criados com o ggplot2: ::: {.callout-note appearance=“simple” collapse=true title=“Veja aqui Algumas Possibilidades de Camadas”}

  • geom_area(): cria um gráfico de área.
  • geom_density(): cria um gráfico de densidade de kernel.
  • geom_dotplot(): cria um gráfico de pontos.
  • geom_freqpoly(): cria um polígono de frequência.
  • geom_histogram(): cria um histograma.
  • stat_ecdf(): plota a função de densidade acumulada empírica.
  • stat_qq(): cria um gráfico quantil-quantil.
  • geom_bar(): cria um gráfico de barras.

:::

Vejamos um exemplo inicial de um gráfico da taxa de homicídio feminino e a taxa de feminicídio por Estado no Brasil

Primeiro, definindo os dados que serão utilizados e os eixos x e y, vejamos o que ocorre:

library(ggplot2)
ggplot(data = final_fem_22, aes(x = homic_tx, y = feminic_tx))

Agora podemos adicionar uma camada de pontos ao gráfico:

ggplot(data = final_fem_22, aes(x = homic_tx, y = feminic_tx))+
  geom_point()

Podemos fazer com que cada ponto seja associado a uma região do Brasil:

ggplot(data = final_fem_22, aes(x = homic_tx, y = feminic_tx, colour=regiao))+
  geom_point()

Ou podemos fazer que todos os pontos seja azul escuro:

ggplot(data = final_fem_22, aes(x = homic_tx, y = feminic_tx))+
  geom_point(color="darkblue")

Para as cores uma possibilidade bem flexível é usar cores Hexadecimais. Vamos usar a cor #6e94bd para os pontos:

Podemos mudar o tamanho size, a transparência com alpha e a forma shape dos pontos:

ggplot(data = final_fem_22, aes(x = homic_tx, y = feminic_tx))+
  geom_point(color="#6e94bd", size=3, alpha=0.7,  shape=17) +
  scale_x_continuous(limits = c(0, 13))

  • shape = 0: quadrado
  • shape = 1: círculo
  • shape = 2: triângulo apontando para cima
  • shape = 3: sinal de mais (+)
  • shape = 4: cruz (x)
  • shape = 5: losango
  • shape = 6: triângulo apontando para baixo
  • shape = 7: quadrado com cruz
  • shape = 8: estrela
  • shape = 9: losango com sinal de mais
  • shape = 10: círculo com sinal de mais
  • shape = 11: triângulos apontando para cima e para baixo
  • shape = 12: quadrado com sinal de mais
  • shape = 13: círculo com cruz
  • shape = 14: quadrado com triângulo apontando para baixo
  • shape = 15: quadrado preenchido
  • shape = 16: círculo preenchido
  • shape = 17: triângulo preenchido apontando para cima
  • shape = 18: losango preenchido
  • shape = 19: círculo sólido
  • shape = 20: ponto (círculo menor)
  • shape = 21: círculo preenchido azul
  • shape = 22: quadrado preenchido azul
  • shape = 23: losango preenchido azul
  • shape = 24: triângulo preenchido apontando para cima azul
  • shape = 25: triângulo preenchido apontando para baixo azul

Agora vamos adicionar uma escala para o eixo de x entre 0 e 13 e vamos dividir o gráfico por região:

ggplot(data = final_fem_22, aes(x = homic_tx, y = feminic_tx))+
  geom_point(color="#6e94bd", size=3, alpha=0.7,  shape=17) +
  scale_x_continuous(limits = c(0, 13))+
  facet_wrap(~regiao)

Pode-se também adicionar uma linha de tendência ao gráfico:

ggplot(data = final_fem_22, aes(x = homic_tx, y = feminic_tx))+
  geom_point(color="#6e94bd", size=3, alpha=0.7,  shape=17) +
  scale_x_continuous(limits = c(0, 13))+
  geom_smooth(method = "lm", se=FALSE , color="orange")+
  facet_wrap(~regiao)

E por fim pode-se mudar o título e os rótulos dos eixos:

library(ggthemes)
ggplot(data = final_fem_22, aes(x = homic_tx, y = feminic_tx))+
geom_point(color="#6e94bd", size=3, alpha=0.7,  shape=17) +
scale_x_continuous(limits = c(0, 13))+
geom_smooth(method = "lm", se=FALSE , color="orange")+
facet_wrap(~regiao)+  
labs(title="Homicídios e Feminicídios por Região", x="Homicídios", y="Feminicídios")+
theme_bw()

Para os temas pode acessar a Galeria ou Exemplos Dinâmicos.

6.3 Medidas de Posição:

MÉDIA AMOSTRAL:

\[\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\]

mean(final_fem_22$feminic_tx)
[1] 1.651852

A média da taxa de Feminicídio entre os Estados do Brasil é de 1,65 por 100 mil mulheres em 2022 .

library(kableExtra)

mean_1<- aggregate(final_fem_22[4:15], list(final_fem_22$regiao), mean,  na.rm=T)

t(mean_1) %>% 
  kbl(digits = 2) %>%
     kable_styling()
Group.1 CO N NE S SD
homic_abs 86.25000 69.85714 149.11111 212.66667 277.50000
homic_tx 4.250000 6.785714 4.355556 4.000000 3.300000
feminic_abs 40.50000 18.57143 43.55556 81.00000 127.50000
feminic_tx 2.100000 1.871429 1.422222 1.600000 1.375000
part_feminic 50.02500 30.01429 34.36667 41.53333 43.82500
rendapc 2011.250 1175.286 1053.222 1983.667 1842.750
mais_50 0.5000000 0.1428571 0.2222222 0.3333333 0.2500000
t_homic_abs 258.2500 161.7143 257.7778 450.6667 455.7500
t_homic_tx 13.375000 24.657143 9.311111 8.966667 8.875000
t_feminic_abs 126.33333 50.28571 85.11111 169.66667 185.66667
t_feminic_tx 6.500000 5.285714 3.044444 3.500000 3.000000
part_t_feminic 32.67667 26.44286 25.72444 25.98667 26.50000

MEDIANA:

Organize os dados em ordem crescente.

  1. Para um numero impar de observações a mediana é o valor que ocupa a posição central.

  2. para um número par de observações, a mediana é a média dos dois valores centrais.

median(final_fem_22$feminic_tx)
[1] 1.5

Veja que a mediana é um valor diferente da média. Elas medem coisas diferentes. Veja o exemplo abaixo

median(c(1,3, 14))
[1] 3
mean(c(1,3, 14))
[1] 6

Mediana e média são bastante distintas. Vamos fazer uma tabela com a Média e Mediana, para o nosso conjunto de dados.

fun1 <- function(x, na.rm = TRUE) c(Média=mean(x, na.rm = TRUE), Mediana=median(x, na.rm = TRUE))

median_1 <- (sapply(final_fem_22[4:15], fun1))

t(median_1) %>% 
  kbl(digits = 2) %>%
     kable_styling()
Média Mediana
homic_abs 145.33 95.00
homic_tx 4.77 4.50
feminic_abs 53.22 33.00
feminic_tx 1.65 1.50
part_feminic 37.76 38.90
rendapc 1447.15 1267.00
mais_50 0.26 0.00
t_homic_abs 283.70 264.00
t_homic_tx 13.79 10.00
t_feminic_abs 102.52 88.00
t_feminic_tx 4.14 3.60
part_t_feminic 26.88 29.73

MODA:

Moda é o valor que ocorre com mais frequência.

moda <- function(x, na.rm=T) {
modal <- unique(x, na.rm=T)
modal[which.max(tabulate(match(x, modal)))]
}
moda(final_fem_22$feminic_tx)
[1] 1.3
fun1 <- function(x, na.rm = TRUE) c(Média=mean(x, na.rm = TRUE), Mediana=median(x, na.rm = TRUE), Moda=moda(x))

median_1 <- (sapply(final_fem_22[4:15], fun1))

t(median_1) %>% 
  kbl(digits = 2) %>%
     kable_styling()
Média Mediana Moda
homic_abs 145.33 95.00 22.0
homic_tx 4.77 4.50 4.5
feminic_abs 53.22 33.00 19.0
feminic_tx 1.65 1.50 1.3
part_feminic 37.76 38.90 50.0
rendapc 1447.15 1267.00 1010.0
mais_50 0.26 0.00 0.0
t_homic_abs 283.70 264.00 373.0
t_homic_tx 13.79 10.00 4.2
t_feminic_abs 102.52 88.00 54.0
t_feminic_tx 4.14 3.60 2.3
part_t_feminic 26.88 29.73 NA

6.3.0.1 Visualizando as medidas por categorias

Gráfico de Pizza

O gráfico de pizza indica as proporções de uma determinada variável de classe. Aqui utilizamos a média do número de feminicídios absoluto por região.

ggplot(mean_1, aes(x = "", y = feminic_abs, fill = Group.1)) +
  geom_col(width = 1, color = "lightgray") +
  coord_polar(theta = "y") +
  labs(title = "Média Feminicídio por Região", fill = "Região") +
  theme_minimal() +
  theme(axis.title = element_blank(),
        axis.text = element_blank(),
        axis.ticks = element_blank())+ 
  scale_fill_brewer(palette="PuBu")

Exercício

PERGUNTA: Qual a proporção de estados que possuem taxas de feminicídio acima de 50%?

RESPOSTA: Participação é uma variável disecreta do tipo 0 ou 1 (binárias) que indica se a taxa de feminicídio é maior que 50%.

library(dplyr)
final_fem_22 |> 
  group_by(mais_50) |>
  summarise(cont = n()) |> 
  mutate(mais_50F = factor(mais_50, levels = c(0, 1), labels = c("Abaixo de 50%", "Acima de 50%"))) |> 
  ggplot( aes(x="", y =cont, fill=mais_50F)) +
  geom_bar(stat="identity", width = 1, color = "lightgray") +
  coord_polar(theta = "y", start=0)+
  labs(title = "Participação do Feminicídio no Total de Homicídios Femininos", fill = "Participação Feminicídio") +
  theme_minimal() +
  theme(axis.title = element_blank(),
        axis.text = element_blank(),
        axis.ticks = element_blank())+
  scale_fill_brewer(palette="Blues")

Gráfico de Barra

Em geral a utilização do gráfico de barras está relacionado ao entendimento da frequência de valores associados a uma determinada categoria. Por exemplo, imagine que temos um banco de dados com as pessoas classificadas como: i)Não trabalha; ii)Trabalha e iii)Desempregado. Teríamos três categorias e a frequência de pessoas em cada categoria. Poderíamos ainda dividir essa categoria entre homens e mulheres. Essa é a utilização mais padrão do gráfico de barras. Vejamos alguns gráficos:

ggplot(final_fem_22, aes(x = reorder(estados, -feminic_tx), y = feminic_tx)) +
  geom_bar(stat = "identity", fill = "salmon2", alpha=0.5, color = "lightsalmon4") +
  labs(title = "Taxa de Feminicídio por Estado",
       x = "",
       y = "Tx. por 100 mil") +
  theme_minimal() +
  theme(axis.text.x = element_text(angle = 90, vjust = 0.5, hjust = 1, size = 9))

Vamos fazer um gráfico de barras para a participação do Feminicídio no total de homicídios femininos por Estado.

ggplot(final_fem_22, aes(x = reorder(estados, -part_feminic), y = part_feminic)) + # Ordem decrescente
  geom_col( fill = "#3f566f", alpha=0.7, color = "#4c5471") +                      # Adiciona as barras, cor das barras, transparencia 
  labs(                                                                            # e cor da borda
    title = "Participação da Taxa de Feminicídio no Total por Estado",             # Título do gráfico
    x = "",                                                                        # Rótulo do eixo x
    y = "Tx. por 100 mil"                                                          # Rótulo do eixo y
  ) +
  theme_bw() +
  theme(axis.text.x = element_text(angle = 90, hjust = 1, size = 9))              # Ajusta o tamanho do texto do eixo x

Gráfico de Barras Agrupadas

Vamos fazer um gráfico de barras agrupadas para a taxa de feminicídio e taxa de tentativa de feminicídio por região. Vamos passo a passo:

  1. Transformar os dados em formato long
library(tidyr)
library(dplyr)

# Transformar os dados no formato long
tx_long <- final_fem_22 %>%
  arrange(desc(feminic_tx)) %>%                          # Ordena pelos valores de feinic_tx, decrescente
  select(estados, regiao, feminic_tx, t_feminic_tx) %>%  # Seleciona as colunas de interesse
  pivot_longer(cols = c(feminic_tx, t_feminic_tx),       # Converte para formato longo
               names_to = "tipo",                        # Nome da coluna que identificará as variáveis
               values_to = "taxa")                       # Nome da coluna que armazenará os valores

head(tx_long)
# A tibble: 6 × 4
  estados            regiao tipo          taxa
  <chr>              <chr>  <chr>        <dbl>
1 Rondonia           N      feminic_tx     3.1
2 Rondonia           N      t_feminic_tx   2.9
3 Mato Grosso do Sul CO     feminic_tx     2.9
4 Mato Grosso do Sul CO     t_feminic_tx   8.8
5 Acre               N      feminic_tx     2.6
6 Acre               N      t_feminic_tx   3.9
  1. Criar o gráfico de barras lado a lado
# Criar o gráfico de barras lado a lado
ggplot(tx_long, aes(x = reorder(estados, -taxa), y = taxa, fill = tipo)) +
  geom_bar(stat = "identity",alpha=0.7,  position = "dodge", color = "white") +               # Barras lado a lado posição dodge faz isso
  labs(
    title = "Comparação das Taxas de Feminicídio por Estado",                     # Título do gráfico
    x = "", # Rótulo do eixo x                                                    # Rótulo do eixo x, y e legenda
    y = "Tx. por 100 mil",                                                        
    fill = "Tipo de Taxa"                                                                
  ) +
  scale_fill_manual(
        values = c("feminic_tx" = "#7185cc", "t_feminic_tx" = "#c2986f"),              # Definir as cores para cada variável
        labels = c("feminic_tx" = "Feminicídio", "t_feminic_tx" = "Tentativa de Fem.") # Definir os rótulos para cada variável
                    ) +  
  theme(axis.text.x = element_text(angle = 90, hjust = 1, size = 8))                    # Ajusta o tamanho do texto do eixo x

Gráfico de Linha

O gráfico de linha ou pontos é muito utilizado para visualização da evolução de séries. É um gráfico que nos permite ver a evolução dos salários entre homens e mulheres, evolução dos preços dos alimentos, evolução do número de casos de feminicídio, evolução dos processos em determinada Vara.

Nosso banco é uma fotografia e não uma evolução, o que torna esse tipo de visualização menos útil. Vejamos a como a taxa de feminicídio evolui com o aumento do número total Homicídios Femininos.

# Ordenar os dados pelo número absoluto de homicídios do menor para o maior
final_fem_22 <- final_fem_22[order(-final_fem_22$homic_abs),]

# Criar o gráfico com ggplot2
ggplot(final_fem_22, aes(x = homic_abs)) +
# Linha para 't_feminic_tx'
  geom_line(aes(y = t_feminic_tx, color = "Tentativa"), linewidth = 0.8, alpha=0.4) +
  geom_point(aes(y = t_feminic_tx, color = "Tentativa"), size = 3, shape = 17) +
# Linha para 'feminic_tx'
  geom_line(aes(y = feminic_tx, color = "Feminicídio"), linewidth = 0.8, alpha=0.4) +
  geom_point(aes(y = feminic_tx, color = "Feminicídio"), size = 3, shape = 19) +
# Escala de cores para as linhas
  scale_color_manual(
    values = c("Tentativa" = "#c2986f", "Feminicídio" = "#7185cc")
  ) +
# Títulos e rótulos
  labs(
    title = "Tentativa e Feminicídio: Taxa",
    x = "Total de Homicídios",
    y = "Taxa / 100 mil",
    color = "Tipo"
  ) +
 # Ajustes de tema
  theme_minimal() +
  theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"),  # Centraliza o título, tamanho e negrito
    legend.position = "top",                                           # Posiciona a legenda no topo
    legend.title = element_text(size = 10),                            # Ajusta o tamanho do título da legenda
    legend.text = element_text(size = 9)                               # Ajusta o tamanho do texto da legenda
  )

Exercício

PERGUNTA: Será que quanto maior for a renda per capita, menor será a taxa de feminicídio?

RESPOSTA: Renda e taxa de feminicídio são variáveis continuas. O ideal seria utilizar um gráfico de dispersão para verificar a relação entre essas variáveis.

ggplot(data = final_fem_22, aes(x = rendapc, y = feminic_tx))+
geom_point(color="#6e94bd", size=3, alpha=0.7,  shape=17) +
geom_smooth(method = "lm", se=TRUE , color="orange")+
labs(title="Renda pc e taxa de Feminicídios por Estado", x="Renda pc", y="Tx 100 mil")+
theme_bw()

PERCENTIL:

O p-esimo percentil é um valor tal que ao menos p por cento das observações são menores ou iguais à ele e pelo menos (100-p) por cento das observações são maiores ou iguais a esse valor.

Etapas para calcular o p-ésimo percentil

Etapa 1: Organize os dados em ordem crescente.

Etapa 2: Calcule um indice, \(i\) tal que \[i = \frac{p}{100} \times n\] onde \(p\) é o percentil procurado

Etapa 3:

  1. Se \(i\) não for um número inteiro, arredondeo-o para cima. O próximo número inteiro maior que \(i\) denota a posição do p-esimo percentil.
  2. Se \(i\) for um número inteiro o p-esimo percentil será a média dos valores que o ocupam as posições \(i\) e \(i + 1\).
quantile(final_fem_22$feminic_tx, probs = c(0.10,0.30,0.60,0.85), na.rm=T)
 10%  30%  60%  85% 
0.96 1.30 1.66 2.24

QUARTIS:

Os quartis são medidas estatísticas que dividem um conjunto de dados ordenados em quatro partes iguais. É um caso particular do percentil.

O três quartis são:

Primeiro Quartil (Q1): Representa o valor abaixo do qual está situada a primeira quarta parte (ou 25% inferiores) dos dados quando eles estão ordenados em ordem crescente. O primeiro quartil é o valor que divide os dados em 25% (ou 0.25) abaixo e 75% (ou 0.75) acima desse ponto.

Segundo Quartil (Q2): Corresponde à mediana dos dados, dividindo o conjunto em duas metades iguais. É o valor que separa os 50% inferiores dos 50% superiores dos dados.

Terceiro Quartil (Q3): Indica o valor acima do qual está situada a terceira quarta parte (ou 25% superiores) dos dados quando eles estão ordenados. Assim como o primeiro quartil, o terceiro quartil divide os dados em 75% (ou 0.75) abaixo e 25% (ou 0.25) acima desse ponto

quantile(final_fem_22$feminic_tx, na.rm=T)
  0%  25%  50%  75% 100% 
0.60 1.30 1.50 1.95 3.10

6.4 Medidas de Variabilidade

AMPLITUDE:

Amplitude é a diferença entre o valor mínimo e máximo de uma série de dados.

\[\text{Amplitude} = \text{Maior Valor} - \text{Menor Valor}\]

min_max<-range(final_fem_22$feminic_tx)
amp<-min_max[2]-min_max[1]
amp
[1] 2.5

AMPLITUDE INTERQUANTIL:

A amplitude interquartil é dada pela diferenca entre o terceiro (\(Q_3\)) e o primeiro quartil (\(Q_1\)).

\[IQR = Q_3 - Q_1\]

qs<-quantile(final_fem_22$feminic_tx, na.rm=T)
iq<-qs[4]-qs[2]
IQR(final_fem_22$feminic_tx)
[1] 0.65
iq
 75% 
0.65

VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO AMOSTRAL:

A variância amostral é uma medida estatística que indica o quão dispersos estão os dados em relação à média amostral. Em outras palavras, ela quantifica a extensão das diferenças individuais entre os valores observados e a média da amostra.

Definimos a variância amostral como:

\[s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}\] onde \(\bar{x}\) é a média amostral.

Vejamos a variância da taxa de feminicídio e do femnicídio absoluto:

var(final_fem_22$feminic_tx, na.rm=T)
[1] 0.3818234
var(final_fem_22$feminic_abs, na.rm=T)
[1] 2364.718

O Desvio padrão amostral é derivado da variância. Podemos qualcular essa estatística da seguinte maneira:

\[s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}\]

Para os nossos dados anteriores:

# Tx Feminicídio
sd(final_fem_22$feminic_tx, na.rm=T)
[1] 0.6179186
#Feminicídio Absoluto
sd(final_fem_22$feminic_abs, na.rm=T)
[1] 48.62837

Vamos consolidar agora nossas estatísticas descritivas em uma tabela:

fun1 <- function(x, na.rm = TRUE) c(Média=mean(x, na.rm = TRUE), Mediana=median(x, na.rm = TRUE), Var=var(x, na.rm = TRUE), DP=sd(x, na.rm = TRUE))

est_descrit <- (sapply(final_fem_22[4:15], fun1))

t(est_descrit) %>% 
  kbl(digits = 1) %>%
     kable_styling()
Média Mediana Var DP
homic_abs 145.3 95.0 13985.0 118.3
homic_tx 4.8 4.5 4.4 2.1
feminic_abs 53.2 33.0 2364.7 48.6
feminic_tx 1.7 1.5 0.4 0.6
part_feminic 37.8 38.9 175.8 13.3
rendapc 1447.1 1267.0 243910.6 493.9
mais_50 0.3 0.0 0.2 0.4
t_homic_abs 283.7 264.0 25685.8 160.3
t_homic_tx 13.8 10.0 286.9 16.9
t_feminic_abs 102.5 88.0 5692.1 75.4
t_feminic_tx 4.1 3.6 5.9 2.4
part_t_feminic 26.9 29.7 83.3 9.1

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO:

O coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão relativa que expressa a variabilidade dos dados como uma porcentagem da média.

\[\text{CV} = \left( \frac{\text{Desvio padrão}}{\text{Média}} \right) \times 100\%\]

# O R nao tem nehuma funçao para isso, mas podemos fazer isso rapidamente
print((sd(final_fem_22$feminic_abs, na.rm = TRUE)/ mean(final_fem_22$feminic_abs, na.rm = TRUE)) * 100)
[1] 91.36854
print((sd(final_fem_22$t_feminic_abs, na.rm = TRUE)/ mean(final_fem_22$t_feminic_abs, na.rm = TRUE)) * 100)
[1] 73.59146

Para entendermos vamos supor que existam duas variáveis com mesmo desvio padrão, igual a 10. A primeira terá média de 10 e a segunda de 20, vejamos a diferença no coeficiente de variação.

\(\text{CV}_{X_1}=\frac{10}{10}.100=100\%\) e \(\text{CV}_{X_2}=\frac{10}{20}.100=50\%\)

A variabilidade relativa é menor para a segunda variável. No exemplo acima a taxa de feminicídio tem uma variabilidade relativa maior (91%) do que a tentativa de feminicídio (74%) entre os Estados Brasileiros.

6.4.0.1 Visualizando a Distribuição dos Dados

Boxplot

O boxplot é um gráfico que traz muitas informações e pode ser visto como a distribuição de probabilidade dos dados. O box ou caixa contém 50% dos dados. O limite superior indica o percentil de 75% (Q3) e o limite inferior indica o percentil de 25% (Q1). A linha que corta o box indica a mediana, ou seja, Q2. Os bigodes são calculados com base na distância interquantílica, ou seja,

Limite inferior: Q1-1,5(Q3-Q1)

Limite superior:Q3+1,5(Q3-Q1)

Dados fora desses limites são classificados como suspeitos de serem outliers. Podemos observar a assimetria dos dados quando a mediana não está no meio da caixa, indicando maior densidade na menor distância entre os quartis Q1 ou Q3 e a mediana Q2. Vejamos agora o boxplot da taxa de feminicídio e da taxa de feminicídio por região.

ggplot(final_fem_22, aes(y = feminic_tx)) +
  geom_boxplot(fill = "steelblue", color = "darkblue", alpha=0.7,  # Linhas tracejadas no boxplot
    outlier.shape = 16, outlier.color = "red", outlier.size = 3) + # Boxplot com preenchimento azul e bordas pretas
  labs(
    title = "Boxplot da Taxa de Feminicídio no Brasil, 2022", # Título do gráfico
    x = "",                                                   # Sem rótulo no eixo x
    y = "Tx de Feminicídio / 100 mil"                        # Rótulo do eixo y
  ) +
  coord_flip() + # Inverte os eixos para horizontalidade
  scale_x_continuous(limits = c(-0.8, 0.8)) +                      # Limita o eixo y entre 0 e 6
  theme_bw() + # Tema limpo e moderno
  theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"), # Centraliza e estiliza o título
    axis.text.y = element_text(size = 10), # Ajusta o tamanho do texto no eixo y
    axis.title.y = element_text(size = 12) # Ajusta o tamanho do rótulo do eixo y
  )

ggplot(final_fem_22, aes(x = regiao, y = feminic_tx, fill = regiao)) +
  geom_boxplot( 
    color = "darkblue", alpha=0.7,                                     # Boxplot linha azul, outlier vermelho e transparete 
    outlier.shape = 16, outlier.color = "red", outlier.size = 3
              ) + 
  labs(
    title = "Boxplot da Taxa de Feminicídio no Brasil, 2022",         # Título do gráfico, x e y e nome da legenda
    x = "Região",                                                   
    y = "Tx de Feminicídio / 100 mil",
    fill = "Região"  # Rótulo do eixo y
      ) +
  coord_flip() +                                                      # Inverte os eixos para horizontalidade
  theme_bw() + 
  theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"), # Centraliza e estiliza o título
    axis.text.y = element_text(size = 10),                           # Ajusta o tamanho do texto no eixo y
    axis.title.y = element_text(size = 12),                          # Ajusta o tamanho do rótulo do eixo y
    legend.position = c(0.9,0.7)                                     # Posição da Legenda quadrado de 1x1
  )+
scale_fill_brewer(palette="Blues")
Warning: A numeric `legend.position` argument in `theme()` was deprecated in ggplot2
3.5.0.
ℹ Please use the `legend.position.inside` argument of `theme()` instead.

O Violin Plot é muito parecido com o BoxPlot mas com a densidade de kernel rotacionada em cada um dos lados. Assim, indica a distribuição dos dados em cada ponto e vem anotado a mediana na forma de um ponto ou marca e um pequeno boxplot no centro do violin plot.

library(dplyr)

final_fem_22 <- final_fem_22 %>%
  mutate(N_NE_CO = case_when(
    regiao %in% c("N", "NE", "CO") ~ 1,  # Região Norte, Nordeste e Centro-Oeste recebem 1
    TRUE ~ 0                             # Demais regiões recebem 0
  ))

# Verificar a distribuição da variável N_NE_CO por região
table(final_fem_22$N_NE_CO, final_fem_22$regiao)
   
    CO N NE S SD
  0  0 0  0 3  4
  1  4 7  9 0  0
ggplot(final_fem_22, aes(x = factor(N_NE_CO, labels = c("Sul e Sudeste", "Norte, Nord. e C.Oeste")),  # Transformando em fatores
                         y = feminic_tx, fill = factor(N_NE_CO))) +                                   # Taxa de Feminicídio por Fator
  geom_violin(trim = FALSE, color = "white") +                                                        # Cria o gráfico de violino
  scale_fill_manual(values = c("lightblue", "steelblue")) +                                           # Cor das violas
  stat_summary(fun="median", geom = "point", shape=19, size=3, color="darkorange"  ) +                # Vamos colocar o ponto mediana
  labs(
    title = "Violin Plots da taxa de feminicídio por região do Brasil",
    x = "Região",
    y = "Taxa de Feminicídio (por 100 mil)",
    fill = "Região"
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"),              # Centraliza o título
    axis.text.x = element_text(size = 12),                                         # Ajusta o tamanho dos rótulos no eixo X
    axis.text.y = element_text(size = 10),                                         # Ajusta o tamanho dos rótulos no eixo Y
    legend.position = "none"  )

Gráfico de Densidade

Visualizar a distribuição empírica dos dados fornece uma grande quantidade de informação. Um gráfico básico em análise descritiva é o histograma, o qual fornece a distribuição de probabilidade empírica dos dados em um formato de barras. A área do histograma é igual a 1 e altura da sua barra da a densidade de observações em cada classe. “#c2986f”, “Feminicídio” = “#7185cc”)

ggplot(final_fem_22, aes(x = feminic_tx)) +
  geom_histogram(bins = 8, fill = "#7185cc", color = "white", alpha = 0.7) +    # bins são os números de barras
# Linha vertical com 70% de transparência, que mostra a média da taxa de feminicídio
  geom_vline(aes(xintercept = mean(feminic_tx)), color = "#c2986f", size = 1, alpha = 0.7,linetype = "dashed") +  
  labs(
    x = "Taxa de Feminicídio",                                                  # Título do eixo X, y e grafico
    y = "Frequência",  
    title = "Histograma da Taxa de Feminicídio"   
  ) +
  theme_minimal() + 
 theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"),              # Centraliza o título
    axis.text.x = element_text(size = 12),                                         # Ajusta o tamanho dos rótulos no eixo X
    axis.text.y = element_text(size = 10))
Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
ℹ Please use `linewidth` instead.

Uma outra maneira de visualizar os dados é utilizando uma distribuição continua e não mais a discreta. Para isso, utiliza-se a densidade de Kernel para visualização da distribuição de probabilidade da taxa de feminicídio. Vejamos

 ggplot(final_fem_22, aes(x = feminic_tx)) +
  geom_density(fill = "#7185cc", color = "darkblue", alpha = 0.6) +   # Curva de densidade e preenchimento
   scale_x_continuous(limits = c(0, 4)) +                               # Limita o eixo X entre 0 e 10  
  labs(
    x = "Taxa de Feminicídio",                                          # Título do eixo X, Y e Gráfico
    y = "Densidade",  
    title = "Densidade de Kernel para a Taxa de Feminicídio"  
  ) +
  theme_minimal()  + 
 theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"),              # Centraliza o título
    axis.text.x = element_text(size = 12),                                         # Ajusta o tamanho dos rótulos no eixo X
    axis.text.y = element_text(size = 10))

Podemos analisar mais de uma variável juntamente no gráfico acima. Vamos ver a Taxa de Feminicídio e a Tentativa de Feminicídio

 ggplot(final_fem_22) +
  geom_density(aes(x = feminic_tx), fill = "#7185cc", color = "#7185cc", alpha = 0.6) +     # Curva de densidade e preenchimento
  geom_density(aes(x = t_feminic_tx), fill = "#c2986f", color = "#c2986f", alpha = 0.6) +   # Curva de densidade e preenchimento
  scale_x_continuous(limits = c(0, 15)) +                                                   # Limita o eixo X entre 0 e 10  
  labs(
    x = "Taxa de Feminicídio",                                                             # Título do eixo X, Y e Gráfico
    y = "Densidade",  
    title = "Densidade de Kernel para a Taxa de Feminicídio",
    fill = "Tipo" 
  ) +
  theme_minimal()  +
 theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"),              # Centraliza o título
    axis.text.x = element_text(size = 12),                                         # Ajusta o tamanho dos rótulos no eixo X
    axis.text.y = element_text(size = 10)
    )

Outra forma útil de visualizar os dados a é distribuição por classe, por exemplo distribuição de salários entre homens e mulheres, distribuição do tempo do processo por vara, distribuição da taxa de feminicídio por região. Vamos utilizar a densidade de Kernel para analisar a distribuição dos valores da taxa de feminicídio por região. Para isso precisa instalar o pacote sm.

ggplot(final_fem_22, aes(x = feminic_tx, fill = factor(N_NE_CO))) + # Curvas de densidade para as duas regiões
  geom_density(alpha = 0.6, color = "white") +
  scale_fill_manual(values = c("1" = "#7185cc", "0" = "#c2986f"), 
                    labels = c("Norte, Nordeste, Centro-Oeste", "Sul e Sudeste")) +
  scale_x_continuous(limits = c(0, 5)) +
  # Adicionar rótulos e título
  labs(
    x = "Taxa de Feminicídio", 
    y = "Densidade",  
    title = "Comparação da Taxa de Feminicídio entre Regiões", 
    fill = "Região"
  ) +
  
  # Ajustar o tema e a aparência do gráfico
  theme_minimal() +
  theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"),
    axis.text.x = element_text(size = 12),
    axis.text.y = element_text(size = 10),
    legend.position = "top",  # Posição da legenda
    legend.title = element_text(size = 10),
    legend.text = element_text(size = 8)
  )

Exercício

PERGUNTA: Gostaria de ter uma distribuição das Tentativa de Feminicídio por Estado mostrando os quartis, mediana e média.

Dica: Utlizar a densidade e o boxplot?

RESPOSTA: Aqui segue uma sugestão de plotar a densidade juntamente com o boxplot, possibilitando em um mesmo gráfico uma maior quantidade de observação. Veja abaixo:

library(ggplot2)
library(gridExtra)

# Criar o histograma com ggplot2
dens_t_f <- ggplot(final_fem_22, aes(x = t_feminic_tx)) +
  geom_density(fill = "#7185cc", color = "darkblue", alpha = 0.6) +
  geom_vline(aes(xintercept = mean(t_feminic_tx, na.rm=TRUE)), color = "#c2986f", size = 1, alpha = 0.7,linetype = "dashed") +  
  scale_x_continuous(limits = c(0, 15)) +
  labs(x = "Taxa de Feminicídio", y = "Frequência") +
  theme_minimal()  +
  theme(
    panel.background = element_blank(),  # Remove o fundo do gráfico
    plot.background = element_blank(),   # Remove o fundo do gráfico
    axis.line = element_blank(),         # Remove as linhas dos eixos X e Y
    axis.ticks = element_blank()        # Remove os ticks dos eixos X e Y
  )


# Criar o boxplot com ggplot2
bp_t_f <- ggplot(final_fem_22, aes(x = feminic_tx)) +
  geom_boxplot(fill = "#c2986f", color = "darkblue", outlier.shape = 16, outlier.size = 3) +
  labs(x = NULL, y = NULL) +
  theme(
    panel.background = element_blank(),  # Remove o fundo do painel
    plot.background = element_blank(),   # Remove o fundo do gráfico
    axis.line = element_blank(),         # Remove as linhas dos eixos X e Y
    axis.ticks = element_blank(),        # Remove os ticks dos eixos X e Y
    axis.text = element_blank() )         # Remove os textos dos eixos X e Y
  

# Organizar os gráficos usando grid.arrange
grid.arrange( bp_t_f, dens_t_f,
             ncol = 1, heights = c(1, 4))

6.5 Medidas de Associação

COVARIÂNCIA AMOSTRAL

Covariância entre duas variáveis: A covariância entre duas variáveis X e Y é uma medida estatística que descreve como essas variáveis variam juntas. Em outras palavras, a covariância indica a tendência de X e Y de se moverem na mesma direção (covariância positiva) ou em direções opostas (covariância negativa).

\[\text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})\]

 cov(final_fem_22$feminic_tx, final_fem_22$homic_tx)
[1] 0.4648575

CORRELAÇÃO

O coeficiente de correlação entre duas variáveis X e Y é uma medida estatística que descreve a força e a direção da relação linear entre essas variáveis. O coeficiente de correlação é frequentemente representado pelo coeficiente de correlação de Pearson, \(r_{XY}\).

\[r_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{s_X s_Y}\] O coeficiente de correlação de Pearson é uma medida amplamente utilizada para avaliar a relação linear entre variáveis, pois fornece uma interpretação padronizada da força e direção da relação, independentemente das unidades das variáveis.

 cor(final_fem_22$feminic_tx, final_fem_22$homic_tx)
[1] 0.3589068

6.5.0.1 Visualizando a Associação

Scatter Plot

O Scatter Plot é conhecido como o gráfico de dispersão. Ele relaciona duas ou três variáveis, ou seja, plota \(X\) contra \(Y\). Muito utilizado para ver o comportamento conjunto de duas séries.

Como já visto que renda pc e a taxa de feminicídio não mostram um comportamento conjunto:

ggplot(data = final_fem_22, aes(x = rendapc, y = feminic_tx))+
  geom_point(color="#6e94bd", size=3, alpha=0.7,  shape=17) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, 5)) +
  geom_smooth(method = "lm", se=TRUE , color="orange")+
  labs(title="Renda pc e taxa de Feminicídios por Estado", x="Renda pc", y="Tx 100 mil")+
  theme_bw()

Ao observar o homicídio absoluto e o feminicídio absoluto, estados com maiores números de homicídio tendem a ter maior número de feminicídios.

# Primeiro vou fzer a correlação
correl1<-cor(final_fem_22$part_feminic, final_fem_22$homic_tx)

#Depois montamos o Gráfico e anotamos a correlação no gráfico
ggplot(data = final_fem_22, aes(x = part_feminic, y = homic_tx))+
  geom_point(color="#6e94bd", size=3, alpha=0.7,  shape=17) +
  geom_smooth(method = "lm", se=TRUE , color="orange")+
  labs(title="Taxa de Homicídio por 100 mil mulheres e a Participação do Feminicídio",
       x="Participação do Feminicídio", 
       y="Taxa de Homicídio")+
  annotate(
    "text", 
    x=40, y=9,
    label = paste("Correlação: ", round(correl1, 2)), 
    color = "#6e94bd", size = 4, hjust = 0
  ) +
  theme_bw()

Correlograma

Correlograma é uma maneira de analisar todas as correlações de umaúnca vez a partir de uma matriz.

library(corrgram)
correl<- final_fem_22[c(5,7,8,9,13,15,16)]
corrgram(correl, order=TRUE, lower.panel=panel.shade, upper.panel=panel.cor,  main="Correlação entre as diversas variáveis") 

#install.packages("ggcorrplot")
library(ggcorrplot)
correl2<- round(cor(final_fem_22[c(5:9, 12)]),2)
ggcorrplot(correl2, hc.order = TRUE, type = "lower",        # Matriz de correlação, coloca de forma ordenada e inferior
           lab = TRUE, lab_size = 3, lab_col = "#616161",   #  mostra os valores tamanho 4
           outline.col = "white",
           ggtheme = ggplot2::theme_minimal,
           colors = c("#6D9EC1", "white", "#c2986f"))+     # cores utilizadas
# Colocando nomes  
  labs(title = "Correlação entre as Diversas Variáveis")+   # Título
#Trocando os nomes das variáveis
  scale_y_discrete(labels = c("Feminic. Abs.", "Part. Feminic.", "Renda pc",  # Nomes no eixo X
                              "Taxa Homic.", "Homic. Abs.")) +  
  scale_x_discrete(labels = c("Part. Feminic.", "Renda pc", 
                              "Taxa Homic.", "Homic. Abs.", "Taxa Feminic."))  # Nomes no eixo Y

Salvando nosso banco para a próxima seção

save(final_fem_22, file = "final_fem_22.RData")